¿Qué es Baricentro?

Ejemplo 17.7 (Geometría baricéntrica clásica)

El centroide de un triángulo $ABC$ es el baricentro $G = \operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$. La asociatividad con el punto medio $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ muestra que

$G$ está sobre la mediana $AA'$ a dos tercios de ella; y lo mismo para las otras dos medianas: las tres medianas son concurrentes, en una línea de cálculo baricéntrico.

Ejemplo 17.8 (Las bimedianas de un cuadrilátero)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cualquiera (¡plano o no!) y considérense sus bimedianas: los segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos, $M_{AB}M_{CD}$ y $M_{BC}M_{DA}$. Introdúzcase el baricentro $G$ de $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ y agrúpense los pesos de dos maneras:

$G$ es el punto medio de ambas bimedianas, de modo que las dos bimedianas siempre se bisecan mutuamente, y el cuadrilátero de los cuatro puntos medios es un paralelogramo (sus diagonales son las bimedianas). Sin análisis de casos, sin coordenadas, y el argumento sobrevive sin cambios para un cuadrilátero alabeado de $\R^3$, donde una demostración basada en un dibujo ya sería delicada: a la asociatividad no le importa la dimensión.

Ejemplo 17.12 (Los epigrafos son conjuntos convexos)

La región $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ por encima de la parábola es convexa: para $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ y $t \in \intcc01$, la desigualdad de convexidad de la función cuadrado da

de modo que el baricentro se queda por encima de la parábola. El cálculo es general: $\{y \geq f(x)\}$ es convexo exactamente cuando $f$ es una función convexa; los conjuntos convexos y las funciones convexas (Capítulo 8) son dos caras de una misma noción, y los epigrafos son el diccionario. Esta es la razón geométrica de que las funciones convexas tengan rectas de apoyo, el hecho que demostrará la desigualdad de Jensen en el Capítulo 22.