متتالية كوشي কী?

مثال 11.19 (التحقق من خاصية كوشي باليد)

لتكن $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\cos k}{2^k}$ — فلا رتابة، ولا نهاية يمكن تخمينها. من أجل $p > q$:

بمتراجحة المثلث، و $\abs{\cos k} \leq 1$، ومجموع هندسي منته. ومن أجل $\varepsilon > 0$، اختر $N$ يحقق $2^{-N} \leq \varepsilon$: فكل الفروق بعد $N$ هي $\leq \varepsilon$، والمتتالية متتالية كوشي، ومنه تتقارب — إلى نهاية لا يستطيع أحد تسميتها في صورة مغلقة، وذلك بالضبط هو المقصود. والفكرة النافذة: السيطرة الهندسية على التزايدات هي الطريقة المعيارية لكسب خاصية كوشي، وسوف يعبّئ الفصل 17 الحجة في صورة «التقارب بإطلاق يستلزم التقارب».

مثال 11.22 (متتالية كوشي نهايتها غير مرئية)

لتكن $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$. من أجل $p > q \geq 1$:

ومنه فبعد $N > \frac1\varepsilon$ تكون كل الفروق $\leq \varepsilon$: فالمتتالية $(S_n)$ متتالية كوشي، ومنه تتقارب. ولاحظ ما حدث للتوّ: فقد برهنّا على أن عددًا حقيقيًا معيّنًا موجود دون أن يكون لنا أيّ اسم له. (وهو $\frac{\pi^2}{6}$ — متطابقة شهيرة لأويلر، مبرهنٌ عليها في مجلّد السنة الثانية؛ ولا شيء في هذا الفصل يستطيع أن يخبرنا بذلك.) وتقسيم العمل هذا — الوجود الآن، والتعيين لاحقًا، إن كان — هو كل مقصود محك كوشي، ومحرّك نظرية المتسلسلات في الفصل 17.