4امتدادات الحقول ونظرية غالوا

برهان. التوليد: يُكتب $x \in M$ على الصورة $x = \sum_j \lambda_jf_j$ (حيث $\lambda_j \in L$)، ويُكتب كل $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}e_i$ (حيث $\mu_{ij} \in K$): ومنه $x = \sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$. الاستقلال: تُعاد كتابة $\sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j = 0$ على الصورة $\sum_j (\sum_i \mu_{ij}e_i)f_j = 0$؛ والمجاميع الداخلية في $L$، ومنه فهي تنعدم (لأن $f_j$ مستقلة على $L$)؛ ثم تكون جميع المعاملات $\mu_{ij} = 0$ (لأن $e_i$ مستقلة على $K$). ∎

برهان. التقييم $K[X] \to L$ المعطى بالعلاقة $P \mapsto P(\alpha)$ صورته $K[\alpha]$ ونواته $(\pi_\alpha)$؛ وبما أن $\pi_\alpha$ غير قابل للاختزال، فإن $K[X]/(\pi_\alpha)$ حقل (القضية 2.4: ففي حلقة المثاليات الرئيسية $K[X]$، يولّد العنصرُ غير القابل للاختزال مثاليًا أعظميًا)، ومنه فإن $K[\alpha]$ حقل يحتوي $K$ و $\alpha$: أي إنه يساوي $K(\alpha)$. وتشكّل أصناف $1, X, \dots, X^{d-1}$ أساسًا لحلقة القسمة (بالقسمة الإقليدية)، ومن هنا يأتي الأساس والدرجة. وبالعكس، إذا كان $[L:K] = n < \infty$: فإن $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ مرتبطة، فتعطي كثير حدود مُبيدًا؛ ثم يقسم $[K(\alpha):K] = \deg\pi_\alpha$ العددَ $n$ حسب مبرهنة البرج. ∎

برهان. الامتداد $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ منتهٍ على $K(\alpha)$ (لأن $\beta$ جبري على $K \subseteq K(\alpha)$) والامتداد $K(\alpha)/K$ منتهٍ: ومنه حسب مبرهنة البرج $[K(\alpha,\beta):K] < \infty$، ويكون كل عنصر من $K(\alpha, \beta)$ — ومنها العناصر الأربعة المذكورة — جبريًا (المبرهنة 4.4). أما التعدّي: فإذا كان $\beta$ جبريًا على $L$ وكان $L/K$ جبريًا، فإن معاملات $c_0, \dots, c_{m-1}$ لكثير الحدود $\pi_{\beta/L}$ تولّد امتدادًا منتهيًا $F = K(c_0, \dots, c_{m-1})$ للحقل $K$ (بتكرار مبرهنة البرج)، ويكون $F(\beta)/F$ منتهيًا: ومنه $[F(\beta):K] < \infty$، فيكون $\beta$ جبريًا على $K$. ∎

برهان. الوجود، بالتراجع على $\deg P$: نختار عاملًا $Q$ غير قابل للاختزال من $P$؛ فيحتوي الحقل $K_1 = K[X]/(Q)$ على الجذر $\alpha_1 = \bar X$ لكثير الحدود $Q$، ومنه للحدود $P$؛ ونكتب $P = (X - \alpha_1)P_1$ على $K_1$ ونطبّق التراجع على $P_1$ على $K_1$؛ وتتضارب الدرجات لتعطي $n(n-1)\cdots = n!$ على الأكثر.

الوحدانية تنتج من العبارة الأقوى، وهي مبرهنة تمديد التماثل المساعدة: ليكن $\sigma \colon K \to K'$ تماثلًا، وليكن $P \in K[X]$، وليكن $P^\sigma$ كثير الحدود ذا المعاملات المرسَلة، وليكن $L, L'$ حقلَي انشطار للحدود $P, P^\sigma$؛ عندئذٍ يمتد $\sigma$ إلى تماثل $L \to L'$. بالتراجع على $[L:K]$: إذا انشطر $P$ في $K$، فإن $L = K$ و $L' = K'$ (لأن $P^\sigma$ ينشطر في $K'$ ولأن $L'$ مولَّد بجذوره). وإلا فلنختر جذرًا $\alpha \in L \setminus K$ لعامل $Q$ غير قابل للاختزال من $P$ مع $\deg Q \geq 2$؛ فيكون $Q^\sigma$ عاملًا غير قابل للاختزال من $P^\sigma$، وله جذر $\beta \in L'$؛ وعندئذٍ

يمدّد $\sigma$ مع $\alpha \mapsto \beta$. والآن يكون $L$ حقل انشطار للحدود $P$ على $K(\alpha)$، ويكون $L'$ حقل انشطار للحدود $P^\sigma$ على $K'(\beta)$، مع $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: فيمدّد التراجع أكثر إلى $L \to L'$. ∎

برهان. الوجود (بناء أرتين). لتكن $R = K[(X_f)_f]$ حلقة كثيرات الحدود بمتغيّر $X_f$ واحد لكل كثير حدود واحدي غير ثابت $f \in K[X]$، وليكن $I$ المثالي المولَّد بجميع العناصر $f(X_f)$. والمثالي $I$ فعلي: إذ إن علاقة $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ تتضمن عددًا منتهيًا من كثيرات الحدود؛ وفي حقل انشطار مشترك $E$ للجداء $f_1\cdots f_r$ نختار جذورًا $\alpha_i$ للعناصر $f_i$ ونقيّم $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (والمتغيّرات الأخرى $\mapsto 0$): فنجد $1 = 0$، وهو سخف. وليكن $\mathfrak m \supseteq I$ أعظميًا (المبرهنة 2.8؛ زورن) ولتكن $K_1 = R/\mathfrak m$: وهو امتداد حقلي للحقل $K$ يكون فيه لكل كثير حدود غير ثابت $f \in K[X]$ جذرٌ، هو $\bar X_f$، ويكون جبريًا على $K$ (لأنه مولَّد بالعناصر $\bar X_f$، وكلٌّ منها جبري). ونكرّر: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$، حيث يفعل $K_{n+1}$ بالحقل $K_n$ ما فعله $K_1$ بالحقل $K$، ولتكن $\Omega = \bigcup_n K_n$، وهي حقل. وأي كثير حدود غير ثابت $g \in \Omega[X]$ له معاملاته المنتهية العدد في $K_n$ ما؛ ولعامل غير قابل للاختزال من $g$ على $K_n$ جذرٌ في $K_{n+1} \subseteq \Omega$: ومنه فإن $\Omega$ مغلق جبريًا وجبري على $K$ (لأن كل $K_n$ كذلك، بالتعدّي، النتيجة 4.5): أي إن $\Omega$ غلق جبري.

الوحدانية. ليكن $\Omega, \Omega'$ غلقين جبريين. لننظر في مجموعة الأزواج $(E, \tau)$ حيث $K \subseteq E \subseteq \Omega$ ويكون $\tau\colon E \to \Omega'$ غمرًا على $K$، مرتّبةً بالتمديد؛ فهي غير خالية ($(K, \mathrm{id})$) واستقرائية (لأن اتحاد سلسلة كذلك)، ومنه يعطي زورن عنصرًا أعظميًا $(E_0, \tau_0)$. فإذا كان $E_0 \neq \Omega$، فلنختر $\alpha \in \Omega\setminus E_0$: عندئذٍ يُرسَل $\pi_{\alpha/E_0}$ إلى كثير حدود على $\tau_0(E_0)$ له جذر $\beta$ في الحقل $\Omega'$ المغلق جبريًا، ويمتد $\tau_0$ إلى $E_0(\alpha) \to \Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$)، وهذا يناقض الأعظمية. إذن يوجد غمر على $K$ هو $\tau \colon \Omega \to \Omega'$؛ وصورته، المماثلة للحقل $\Omega$، مغلقة جبريًا، ويكون $\Omega'$ جبريًا عليها: فمن أجل $x \in \Omega'$، ينشطر $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ على $\tau(\Omega)$، ومنه $x \in \tau(\Omega)$. إذن $\tau$ شامل: أي إنه تماثل. ∎

برهان. (1) لكل حقل منتهٍ $E$ مميّزٌ $p > 0$ وهو فضاء متجهي منتهي البُعد على $\mathbb F_p$: ومنه $\abs E = p^n$. ورتبة زمرته الضربية $q - 1$، ومنه يحقق كل $x \in E$ العلاقة $x^q = x$: أي إن $E$ يتألف من $q$ جذرًا لكثير الحدود $X^q - X$، ومنه فهو حقل انشطار له على $\mathbb F_p$ — وهذا يحدّد $E$ إلى حدود التماثل (المبرهنة 4.7). وبالعكس، ففي حقل انشطار $L$ لكثير الحدود $X^q - X$، تكون مجموعة جذوره $E$ حقلًا جزئيًا: إذ إن $(x + y)^q = x^q + y^q$ بتكرار حلم المبتدئ $(a+b)^p = a^p + b^p$ ($p \mid \binom pk$)، و $(xy)^q = x^qy^q$، و $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$؛ وعدد عناصره $q$ بالضبط لأن $X^q - X$ قابل للفصل: فمشتقه $qX^{q-1} - 1 = -1$ (لأن $p \mid q$)، وهو أولي معه، ومنه لا جذور مكرّرة. إذن $L = E$ وعدد عناصره $q$.

(2) التطبيق $F$ تشاكل حقول (بحلم المبتدئ)، ومتباين (لأنهما حقلان)، ومنه فهو تقابلي على $\mathbb F_q$ المنتهي. ولدينا $F^n = \mathrm{id}$ (لأن $x^q = x$)، ولا تساوي أي قوة أصغر التطابقَ: إذ يعني $F^m = \mathrm{id}$ أن جميع العناصر $q$ جذورٌ لكثير الحدود $X^{p^m} - X$، وهذا يفرض $p^m \geq q$. إذن $\langle F\rangle$ دائرية رتبتها $n$؛ ولا توجد تماثلات ذاتية أخرى، وذلك بالحد $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q : \mathbb F_p\,] = n$ المُبرهَن عليه أدناه (القضية 4.16 مع $L = \mathbb F_q$ و $K = \mathbb F_p$: فالتماثلات الذاتية تُثبّت الحقل الأولي).

(3) إذا كان $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$، أعطت مبرهنة البرج أن $p^n = (p^m)^d$: أي $m \mid n$. وبالعكس، إذا كان $m \mid n$، فإن $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (بمجموع هندسي)، ومنه يقسم $X^{p^m} - X$ كثيرَ الحدود $X^{p^n} - X$ (بالحجّة نفسها على الأُسس: $X^{a} - 1 \mid X^{b} - 1$ حين $a \mid b$)، وتشكّل جذور الأول داخل $\mathbb F_{p^n}$ الحقلَ الجزئي المطلوب، وعدد عناصره $p^m$ (بالقابلية للفصل كما في (1)). ∎

برهان. لتكن $G \leq K^\times$ منتهية. حسب مبرهنة البنية (النتيجة 3.13)، لدينا $G \cong \Z/d_1 \times \dots \times \Z/d_s$ مع $d_1 \mid \dots \mid d_s$. عندئذٍ يحقق كل $x \in G$ العلاقة $x^{d_s} = 1$؛ لكن لكثير الحدود $X^{d_s} - 1$ عدد جذور لا يتجاوز $d_s$ في الحقل $K$: ومنه $\abs G = d_1\cdots d_s \leq d_s$، وهذا يفرض $s = 1$: أي إن $G$ دائرية. ∎

برهان. يقسم $\gcd(P, P')$ كثيرَ الحدود $P$؛ فإذا لم يكن $1$، فرضت عدمُ قابلية الاختزال أن $\gcd = P$ (إلى حدود ثابت)، ومنه $P \mid P'$ مع $\deg P' < \deg P$: أي $P' = 0$. وبكتابة $P = \sum a_kX^k$: نجد $ka_k = 0$ من أجل كل $k$، ومنه يكون $P$ ثابتًا في المميّز $0$ (وهو مستبعَد)؛ وفي المميّز $p$ يكون $a_k = 0$ إلا إذا كان $p \mid k$: أي $P = Q(X^p)$. وعلى حقل منتهٍ، يكون كل عنصر قوةً نونية من الرتبة $p$ (لأن فروبينيوس شامل)، ومنه فإن $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum b_kX^k)^p$ ليس غير قابل للاختزال: أي إن $P' = 0$ لا يمكن أن يحدث من أجل $P$ غير قابل للاختزال هناك أيضًا. ∎

برهان. بالتراجع على $[L:K]$ عبر خطوات بسيطة. من أجل $L = K(\alpha)$: يتحدّد التمديد $\tau$ بالقيمة $\tau(\alpha)$، التي يجب أن تكون جذرًا في $\Omega$ لكثير الحدود $\pi_\alpha^\sigma$؛ وبالعكس، يعطي كل جذر من هذا النوع تمديدًا واحدًا ($K(\alpha) \cong K[X]/(\pi_\alpha)$). وعدد التمديدات هو عدد الجذور المتمايزة لكثير الحدود $\pi_\alpha^\sigma$ في $\Omega$: وهو لا يتجاوز $\deg\pi_\alpha = [K(\alpha):K]$، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $\pi_\alpha$ قابلًا للفصل (وقابلية فصل $\pi^\sigma$ و $\pi$ متوافقتان: لأن القاسم المشترك الأكبر مع المشتق محفوظ بالتطبيق $\sigma$). وفي العموم، نفكّك $L = K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$: فيكون عدد تمديدات $\sigma$ إلى $K(\alpha_1)$ هو $\leq [K(\alpha_1):K]$، ويمتد كلٌّ منها بعدد $\leq [L : K(\alpha_1)]$ من الطرق بالتراجع؛ ثم نضرب (بمبرهنة البرج). وفي الحالة القابلة للفصل يكون العددان متساويين: لأن كثيرات الحدود الدنيا على الحقل الأكبر $K(\alpha_1)$ تقسم مثيلاتها على $K$، ومنه تبقى قابلة للفصل. ∎

برهان. إذا كان $K$ منتهيًا، فكذلك $L$، ويفي مولّد $\gamma$ للزمرة الدائرية $L^\times$ (المبرهنة 4.12) بالغرض. وليكن $K$ لامنتهيًا؛ يكفي بالتراجع أن نعالج $L = K(\alpha, \beta)$. وليكن $n = [L:K]$؛ فحسب القضية 4.16 يوجد $n$ من الغمور المتمايزة على $K$ $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L \to \Omega$ (حيث $\Omega$ غلق جبري). وكثير الحدود

ليس معدومًا تطابقيًا: إذ لا ينعدم عامل تطابقيًا إلا إذا توافق $\sigma_i, \sigma_j$ على كلٍّ من $\alpha$ و $\beta$، ومنه على $L$ — وهذا مستبعَد من أجل $i \neq j$. وبما أن $K$ لامنتهٍ، فلنختر $c \in K$ يحقق $D(c) \ne 0$: عندئذٍ تكون العناصر $n$ $\sigma_i(\alpha + c\beta)$ متمايزة مثنى مثنى، ومنه فإن للعنصر $\gamma = \alpha + c\beta$ على الأقل $n$ من المقترنات المتمايزة في $\Omega$، أي $\deg \pi_\gamma \geq n$: ويفرض $[K(\gamma):K] \geq n = [L:K]$ أن $L = K(\gamma)$. ∎

برهان. ليكن $L$ حقل انشطار لكثير الحدود $P$ القابل للفصل على $K$، ولنثبّت غلقًا جبريًا $\Omega \supseteq L$. الامتداد $L/K$ قابل للفصل: فهو مولَّد بجذور $P$؛ وتنتج قابلية فصل كل عنصر من حالة التساوي أدناه، لكن لنحاجج مباشرةً — تعطي القضية 4.16 مطبَّقةً على المولِّدات (وهي جذور لكثير الحدود $P$ القابل للفصل، وكثيرات حدودها الدنيا تقسم $P$) عددَ $[L:K]$ من تمديدات $K \hookrightarrow \Omega$ بالضبط (ففي خطوة التراجع، يبقى كثير الحدود الأدنى لجذرٍ من جذور $P$ على حقل وسيط قاسمًا للحدود $P$، ومنه فهو قابل للفصل). ويبدّل كل غمر من هذا النوع $\tau \colon L \to \Omega$ جذورَ $P$ فيما بينها (لأن $\tau$ يُثبّت المعاملات)، ويكون $L$ مولَّدًا بها: أي $\tau(L) = L$. ومنه فإن الغمور $=$ التماثلات الذاتية: أي $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$. وأما من أجل حقل وسيط $F$: فإن $L$ حقل انشطار للحدود $P$ على $F$ أيضًا، ويبقى $P$ قابلًا للفصل: ومنه $L/F$ غالوايّ؛ وتعطي الحجّة نفسها الناظمية على $F$. ∎

برهان. ليكن $n = \abs G$ و $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$، ولنفترض أن العناصر $x_1, \dots, x_{n+1} \in L$ مستقلة خطيًا على $K$. للجملة الخطية المتجانسة المؤلَّفة من $n$ معادلة بعدد $n+1$ من المجاهيل $(c_j)$ على $L$،

حلٌّ غير معدوم؛ ونختار حلًّا عدد عناصره غير المعدومة أصغري، وليكن $c_1, \dots, c_r \neq 0$ (بإعادة الترقيم)، مع $r \geq 2$ (لأن حلًّا وحيدًا $c_j\sigma_i(x_j) = 0$ مستحيل)، ومنظَّمًا بالشرط $c_r = 1$. ولا تقع جميع العناصر $c_j$ في $K$: إذ إن المعادلة الخاصة بالمقدار $\sigma_i = \mathrm{id}$ ستناقض الاستقلال؛ وليكن مثلًا $c_1 \notin K$، ومنه $\tau(c_1) \ne c_1$ من أجل $\tau \in G$ ما. نطبّق $\tau$ على جميع المعادلات: وبما أن $\tau\sigma_i$ يمسح $G$، فإن المتجهة $(\tau(c_j))_j$ حلٌّ آخر؛ وبالطرح، يكون $(c_j - \tau(c_j))_j$ حلًّا بعدد أقل من العناصر غير المعدومة (إذ ينعدم العنصر النوني من الرتبة $r$ لأن $1 - 1 = 0$، ولا ينعدم الأول) وهو غير معدوم: وهو تناقض. إذن كل $n+1$ عنصرًا مرتبطة: أي $[L:K] \leq n$. ∎

برهان. (1) من الواضح أن $K \subseteq L^G$. وبالعكس، ليكن $\alpha \in L \setminus K$؛ سنُظهر $\sigma \in G$ يحقق $\sigma(\alpha) \ne \alpha$. درجة كثير الحدود الأدنى $\pi_\alpha$ على $K$ هي $\geq 2$ وهو قابل للفصل (لأن $L/K$ قابل للفصل، القضية 4.19)، ومنه فله جذر آخر $\beta \neq \alpha$ في غلق جبري $\Omega \supseteq L$. نمدّد الغمر على $K$ $K(\alpha) \to \Omega$، $\alpha \mapsto \beta$، إلى غمر $\tau\colon L \to \Omega$ (القضية 4.16)؛ وبالناظمية (القضية 4.19) يكون $\tau(L) = L$، ومنه $\tau \in G$، $\beta = \tau(\alpha) \in L$، و $\tau(\alpha) \neq \alpha$.

(2) من أجل زمرة جزئية $H$: يكون $L/L^H$ غالوايًّا (القضية 4.19)، ويكون $\operatorname{Gal}(L/L^H) \supseteq H$ بداهةً، ومنه $[L:L^H] = \abs{\operatorname{Gal}(L/L^H)} \geq \abs H$؛ وتعطي مبرهنة أرتين المساعدة أن $[L:L^H] \leq \abs H$: أي التساوي، ومنه $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$. ومن أجل حقل وسيط $F$: يعطي كون $L/F$ غالوايًّا أن $L^{\operatorname{Gal}(L/F)} = F$ حسب (1) مطبَّقةً على $L/F$. فالتطبيقان عكسيان أحدهما للآخر؛ ومن الواضح أنهما يعكسان الاحتواءات. وأما الدرجات: فقد بُرهن على $[L:L^H] = \abs H$ للتو، و $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = \abs G/\abs H$.

(3) من أجل $\sigma \in G$ و $H \leq G$: لدينا $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ (بتحقّق مباشر). وبالتقابل، يكون $\sigma(L^H) = L^H$ من أجل كل $\sigma$ إذا وفقط إذا كان $H \trianglelefteq G$. والآن، إذا كان $H \trianglelefteq G$، فلنضع $F = L^H$: عندئذٍ يُقصَر كل $\sigma \in G$ إلى تماثل ذاتي للحقل $F$، فيعطي تشاكلًا $\rho \colon G \to \operatorname{Aut}_K(F)$ نواته $\{\sigma : \sigma\restriction_F = \mathrm{id}\} = \operatorname{Gal}(L/F) = H$. ومنه ينغمر $G/H$ في $\operatorname{Aut}_K(F)$، وينتج $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} \geq [G:H] = [F:K]$؛ والمتراجحة العكسية صحيحة دائمًا (القضية 4.16): ومنه $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} = [F:K]$ ويكون $\rho$ شاملًا. ويبقى أن نرى أن $F/K$ غالوايّ: فإن $F$ قابل للفصل على $K$ (لوقوعه داخل $L/K$ القابل للفصل)، و $F = K(\gamma)$ (المبرهنة 4.17)؛ ولكثير الحدود $\prod_{\sigma \in G/H}\bigl(X - \sigma(\gamma)\bigr)$ (والجداء على الصور المتمايزة، وهي تقع في $F$: لأن $\sigma(F) = L^{\sigma H\sigma^{-1}} = L^H = F$ بناظمية $H$) معاملاتٌ يُثبّتها $G$، ومنه فهي في $K$ حسب (1): أي إنه كثير حدود قابل للفصل من $K[X]$ ينشطر في $F$، وجذوره تولّد $F$: ومنه فإن $F/K$ غالوايّ. وبالعكس، إذا كان $F = L^H$ مع $F/K$ غالوايّ، أعطت ناظمية $F$ (القضية 4.19، مطبَّقةً على الغمور $F \to \Omega$ المقصورة من عناصر $G$) أن $\sigma(F) = F$ من أجل كل $\sigma \in G$، أي $H \trianglelefteq G$. ∎

برهان. ليكن $f = \pi_{\zeta_n}$، ومنه $\Phi_n = fg$ حيث $f, g \in \Z[X]$ واحديان (بمبرهنة غاوس المساعدة المبرهنة المساعدة 2.23: إذ تتضارب المحتويات، وجميع كثيرات الحدود واحدية). الادعاء: إذا كان $\zeta$ جذرًا للحدود $f$ وكان $p \nmid n$ أوليًا، فإن $\zeta^p$ جذر للحدود $f$. وإلا كان $\zeta^p$ جذرًا للحدود $g$ (لأنه جذر بدائي للوحدة من الرتبة $n$)، ومنه يكون $\zeta$ جذرًا للمقدار $g(X^p)$، ويكون $f \mid g(X^p)$ في $\Z[X]$ (بكثير الحدود الأدنى، ثم غاوس مرة أخرى). نختزل بترديد $p$: $\bar g(X^p) = \bar g(X)^p$ (بفروبينيوس على $\mathbb F_p[X]$: أي $a^p = a$ معاملًا معاملًا، وحلم المبتدئ)، ومنه $\bar f \mid \bar g^{\,p}$: أي إن $\bar f$ و $\bar g$ يشتركان في عامل غير قابل للاختزال، ويكون للمقدار $\bar\Phi_n = \bar f\bar g$ عامل مكرّر. وعندئذٍ يكون للمقدار $X^n - \bar 1$ عامل مكرّر أيضًا؛ لكن مشتقه $\bar nX^{n-1}$ أولي معه (لأن $p \nmid n$ ولأن $0$ ليس جذرًا): وهو تناقض.

ويُحصَل على كل جذر بدائي $\zeta_n^k$ (حيث $\gcd(k, n) = 1$) من $\zeta_n$ بقوى أولية متتالية لا تقسم $n$ (بتفكيك $k$): فينتشر الادعاء، ويكون كل جذر بدائي جذرًا للحدود $f$: أي $f = \Phi_n$، وهو غير قابل للاختزال. ومن ثَمّ $[\Q(\zeta_n):\Q] = \varphi(n)$، ويكون $\Q(\zeta_n)$ حقلَ الانشطار لكثير الحدود القابل للفصل $X^n - 1$ (لأن جميع الجذور قوى للعنصر $\zeta_n$): أي إنه غالوايّ. ويرسل التماثل الذاتي $\sigma$ العنصرَ $\zeta_n$ إلى جذر بدائي آخر $\zeta_n^{a(\sigma)}$، ويكون $\sigma \mapsto a(\sigma)$ تشاكلًا متباينًا إلى $(\Z/n\Z)^\times$؛ ورتبة الزمرتين $\varphi(n)$: أي إنه تماثل. ∎

برهان. ($\Rightarrow$) إحداثيات تقاطع مستقيمين مارّين بنقاط إحداثياتها في حقل جزئي $F \subseteq \R$ تحل جملة خطية على $F$: فهي تبقى في $F$. أما تقاطع مستقيم مع دائرة أو دائرة مع دائرة فيؤدي، بعد حذف الجزء الخطي (إذ يعطي طرح معادلتَي الدائرتين مستقيمًا)، إلى معادلة من الدرجة الثانية على $F$: فتقع الإحداثيات الجديدة في $F$ أو في $F(\sqrt d)$ من أجل $d \in F$ ما مع $d > 0$. وبالتراجع، تقع إحداثيات كل نقطة مُنشأة في برج من الامتدادات التربيعية للحقل $\Q$؛ ويقع $z = x + \iu y$ في برج تربيعي أيضًا (بضم $\iu$: أي خطوة تربيعية إضافية). ونتيجة الدرجة: يقسم $[\Q(z):\Q]$ العددَ $[F_r : \Q] = 2^r$ (بمبرهنة البرج).

($\Leftarrow$) تشكّل الأعداد القابلة للإنشاء حقلًا: فالمجاميع والفروق بمتوازيات الأضلاع (والمتوازيات قابلة للإنشاء: بإنزال العمودين ورفعهما مرتين — فالعمود الكلاسيكي المارّ بنقطة يستعمل دائرة واحدة وقوسين)؛ والجداءات والخوارج بأشكال طاليس التناسبية (فبإعطاء طولين $a, b$ نُنشئ $ab$ و $a/b$ بمثلثات متشابهة على شعاعين). والحقل مغلق تحت الجذور التربيعية: فمن أجل $a > 0$، تتقاطع الدائرة ذات القطر $1 + a$ والعمود عند نقطة الوصل على الارتفاع $\sqrt a$ (بعلاقة الارتفاع والوسط الهندسي في مثلث قائم)؛ ومن أجل عدد عقدي $w = \rho\eu^{\iu\theta}$، نُنشئ $\sqrt\rho$ ونُنصّف $\theta$ (وتنصيف الزاوية إنشاءٌ بالفرجار). ومنه فإن الجزأين الحقيقي والتخيلي لعناصر برج تربيعي قابلان للإنشاء بالتراجع على البرج: إذ تضم كل خطوة جذورَ معادلة من الدرجة الثانية، وهي معبَّر عنها بعمليات الحقل وبجذر تربيعي واحد لعدد مُنشأ أصلًا (بالصيغة التربيعية؛ في المميّز $0$). ∎