تطبيق متصل কী?

مثال 6.11

حاصل القسمة $\R/\Z$ (بمطابقة $x$ مع $x + n$) مماثل طوبولوجيًا للدائرة $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$: إذ ينتقل التطبيق $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ إلى تقابل متصل $\R/\Z \to S^1$ (القضية 6.10(b))؛ ومقلوبه متصل بحجّة التراص في النتيجة 6.14 أدناه (ويفصّل التمرين 6.5 كل شيء، بما في ذلك سبب كون $\R/\Z$ هاوسدورفيًا ومتراصًّا). وبالمثل فإن $[0,1]$ بلصق طرفيه هو $S^1$، والمربع بلصق أضلاعه المتقابلة هو الطارة، ويصير اللصق أخيرًا مبرهنةً لا صورة.

مثال 6.22 (منحني جيب الطوبولوجي)

لتكن $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ ولتكن $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (فكل نقطة $(0, y)$ مع $\abs y \leq 1$ نهايةٌ لنقط من $\Gamma$: بحل $\sin\frac1x = y$ قرب $0$). عندئذٍ تكون $S$ مترابطة — لأنها غلق المجموعة المترابطة $\Gamma$، وهي صورة متصلة للفترة $(0, 1]$ (المبرهنة 6.20(3)) — لكنها غير مترابطة بالمسارات: إذ إن مسارًا من $(1, \sin 1)$ إلى $(0,0)$ سيضطر إلى قطع فواصل $\to 0$ بينما يتذبذب الترتيب بين $\pm1$؛ ويجعل التمرين 6.9 ذلك دقيقًا. فالترابط والترابط بالمسارات مختلفان فعلًا.