دورة কী?

مثال 1.20 (نمط الدورات بوصفه إحصاءً)

كم عدد تبديلات $\mathfrak{S}_9$ ذات نمط الدورات $(4, 3, 2)$ — دورة من الطول $4$، ودورة من الطول $3$، ومبادلة؟ نختار الحوامل والترتيبات الدورية:

نرصّ الرموز التسعة في سطر ($9!$ طريقة)، ونُقوّس الأربعة الأولى ثم الثلاثة التالية ثم الأخيرين في دورات، ونقسم على الدورانات داخل كل قوس ($4$ و$3$ و$2$ منها) التي تعطي التبديلة نفسها. (والأطوال هنا مختلفة، فلا قسمة إضافية؛ أما الأطوال المتساوية فتقتضي أيضًا القسمة على تبديلات الأقواس المتساوية.) ورتبة كل تبديلة كهذه $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ وإشارتها $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (المبرهنة 1.19 ومبرهنة الإشارة أدناه). تقسيم واحد للعدد $9$، وصنف تقارن واحد، وإحصاء واحد — فتوافقيات $\mathfrak{S}_n$ هي حساب التقسيمات.

مثال 1.23 (ثلاث طرق إلى إشارة واحدة)

ليكن $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ يرسل $1, 2, 3, 4, 5$ إلى $3, 5, 4, 1, 2$. عبر الدورات: $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ و$2 \mapsto 5 \mapsto 2$، ومنه $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ و $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$. عبر الانقلابات: في قائمة القيم $3, 5, 4, 1, 2$ تكون الأزواج غير المرتبة هي $(3,1)$ و$(3,2)$ و$(5,4)$ و$(5,1)$ و$(5,2)$ و$(4,1)$ و$(4,2)$: أي سبعة، ومنه $(-1)^7 = -1$. عبر المبادلات: $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$، ثلاثة عوامل، ومنه $(-1)^3 = -1$. ثلاث حسابات، وتماثل واحد: فالوحدانية في المبرهنة 1.21 تضمن ألا يختلف أي نظام مسك دفاتر عن غيره — وهذا بالضبط ما يجعل $\varepsilon$ صالحة بوصفها لا متغيّرًا (انظر مسألة نهاية الأسبوع).