ما معنى دورة؟ — الرياضيات

تعريف 1.18 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · 第 1 章 — المجموعات والبنى

$\mathfrak{S}_n$ هي زمرة تبديلات $\intint{1}{n}$ (رتبتها $n!$ ). والدورة $(a_1\,a_2\,\cdots\,a_k)$ ترسل $a_1 \mapsto a_2 \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto a_1$ وتثبّت كل ما عداها؛ و $k$ هو طولها، والدورة ذات الطول $2$ تُسمى مبادلة. وتكون دورتان منفصلتين إذا كان حاملاهما (أي مجموعتا النقاط غير الثابتة) منفصلين.

示例

مثال 1.20 (نمط الدورات بوصفه إحصاءً)

كم عدد تبديلات $\mathfrak{S}_9$ ذات نمط الدورات $(4, 3, 2)$ — دورة من الطول $4$ ، ودورة من الطول $3$ ، ومبادلة؟ نختار الحوامل والترتيبات الدورية:

\frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 :

نرصّ الرموز التسعة في سطر ( $9!$ طريقة)، ونُقوّس الأربعة الأولى ثم الثلاثة التالية ثم الأخيرين في دورات، ونقسم على الدورانات داخل كل قوس ( $4$ و $3$ و $2$ منها) التي تعطي التبديلة نفسها. (والأطوال هنا مختلفة، فلا قسمة إضافية؛ أما الأطوال المتساوية فتقتضي أيضًا القسمة على تبديلات الأقواس المتساوية.) ورتبة كل تبديلة كهذه $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ وإشارتها $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (المبرهنة 1.19 ومبرهنة الإشارة أدناه). تقسيم واحد للعدد $9$ ، وصنف تقارن واحد، وإحصاء واحد — فتوافقيات $\mathfrak{S}_n$ هي حساب التقسيمات.

مثال 1.23 (ثلاث طرق إلى إشارة واحدة)

ليكن $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ يرسل $1, 2, 3, 4, 5$ إلى $3, 5, 4, 1, 2$ . عبر الدورات: $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ و $2 \mapsto 5 \mapsto 2$ ، ومنه $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ و $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$ . عبر الانقلابات: في قائمة القيم $3, 5, 4, 1, 2$ تكون الأزواج غير المرتبة هي $(3,1)$ و $(3,2)$ و $(5,4)$ و $(5,1)$ و $(5,2)$ و $(4,1)$ و $(4,2)$ : أي سبعة، ومنه $(-1)^7 = -1$ . عبر المبادلات: $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$ ، ثلاثة عوامل، ومنه $(-1)^3 = -1$ . ثلاث حسابات، وتماثل واحد: فالوحدانية في المبرهنة 1.21 تضمن ألا يختلف أي نظام مسك دفاتر عن غيره — وهذا بالضبط ما يجعل $\varepsilon$ صالحة بوصفها لا متغيّرًا (انظر مسألة نهاية الأسبوع).

在原文中阅读 ←