ما معنى المشتقة، التضاعف؟

مثال 8.12 (حساب تضاعف)

ما تضاعف الجذر $2$ في $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$؟ احسب المشتقات المتتالية عند $2$:

(مع $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$ و$P'' = 12X^2 - 30X + 12$ و $P''' = 24X - 30$). ثلاث قيم معدومة ثم قيمة غير معدومة: أي تضاعف يساوي $3$ بالضبط. وبالقسمة، $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — ويُتحقَّق من ذلك بنشر $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ و الضرب في $X + 1$. والفكرة النافذة: تُقرأ التضاعفات من الحسابات، دون حاجة إلى تعميل — وهذا بالضبط كيف نكشفها عندما يكون التعميل بعيد المنال.

مثال 8.13 (كشف الجذور المضاعفة بقاسم مشترك أكبر)

عندما لا يُعرف أيّ جذر، تظلّ القضية 8.11 تعطي كاشفًا إجماليًا للجذور المضاعفة: فيكون $a$ جذرًا مضاعفًا للمقدار $P$ إذا وفقط إذا كان جذرًا مشتركًا للمقدار $P$ و $P'$، ومنه فلكثير الحدود $P$ جذر مضاعف (في $\C$) إذا وفقط إذا كان $\gcd(P, P') \neq 1$ — وهو قابل للحساب بخوارزمية إقليدس دون حلّ أيّ شيء. مثال: $P = X^3 - 3X + 2$ و$P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. وبتجريب جذرَي $P'$ اللذين هما $\pm1$ داخل $P$: $P(1) = 0$ لكن $P(-1) = 4$، ومنه

فالجذر $1$ مضاعف؛ وبالقسمة مرتين، $P = (X - 1)^2(X + 2)$. بل إن القاسم المشترك الأكبر يفيد بمجموعة الجذور المضاعفة كاملةً، كلٌّ منها بتضاعف منقوص بواحد — وهي الواقعة التي يستثمرها كل نظام جبر حاسوبي «للتعميل الخالي من المربعات» قبل أيّ مطاردة للجذور، وهي التوأم الكثيرحدودي لحجج التمرين 8.9 في نفي الجذور المضاعفة.

مثال 8.17

عُمِّل $X^4 + 4$ فوق $\R$ في التمرين 3.5 بازدواج الجذور العقدية الأربعة $\pm 1 \pm \iu$: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. ولا ينشقّ أيٌّ من كثيرَي الحدود من الدرجة الثانية فوق $\R$ (فمميّزاهما $-4$). ولاحظ: أن كثير الحدود الحقيقي الذي لا يتجزأ درجته $1$ أو $2$ — وهذا بالضبط ما تقوله مبرهنة التعميل. وبإجراء ازدواج المرافقات نفسه على $X^4 + 1$، وجذوره $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ و $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$: يسهم كل زوج بالمقدار $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$، ومنه

وهي متطابقة غير مرئية لمحاولات التعميل الساذجة فوق $\Q$ — وهي ثمن الإصرار على معاملات حقيقية (بل صمّاء هنا)، ومدخل معياريّ لمكاملة $\frac1{x^4 + 1}$ في الفصل 15.