¿Qué es Derivada, multiplicidad?

Ejemplo 8.12 (Cálculo de una multiplicidad)

¿Cuál es la multiplicidad de la raíz $2$ en $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$? Evalúense las derivadas sucesivas en $2$:

(con $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$, $P'' = 12X^2 - 30X + 12$, $P''' = 24X - 30$). Tres valores nulos y después uno no nulo: multiplicidad exactamente $3$. Dividiendo, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — lo que se comprueba desarrollando $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ y multiplicando por $X + 1$. La idea clave: las multiplicidades se leen en evaluaciones, sin necesidad de factorizar — que es exactamente como se detectan cuando la factorización está fuera de alcance.

Ejemplo 8.13 (Detectar raíces múltiples con un mcd)

Cuando no se conoce ninguna raíz, la Proposición 8.11 sigue dando un detector global de raíces múltiples: $a$ es raíz múltiple de $P$ si y solo si es raíz común de $P$ y $P'$, luego $P$ tiene una raíz múltiple (en $\C$) si y solo si $\gcd(P, P') \neq 1$ — calculable con el algoritmo de Euclides sin resolver nada. Muestra: $P = X^3 - 3X + 2$, $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. Probando las raíces $\pm1$ de $P'$ dentro de $P$: $P(1) = 0$ pero $P(-1) = 4$, luego

la raíz $1$ es múltiple; dividiendo dos veces, $P = (X - 1)^2(X + 2)$. El mcd informa incluso del conjunto completo de raíces múltiples, cada una con la multiplicidad rebajada en uno — hecho que aprovecha todo sistema de álgebra por computador para «factorizar libre de cuadrados» antes de buscar raíz alguna, y el gemelo polinómico de los argumentos sin raíces múltiples del Ejercicio 8.9.

Ejemplo 8.17

$X^4 + 4$ se factorizó sobre $\R$ en el Ejercicio 3.5 emparejando las cuatro raíces complejas $\pm 1 \pm \iu$: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. Ninguno de los dos factores se descompone sobre $\R$ (discriminantes $-4$). Obsérvese: un polinomio real irreducible tiene grado $1$ o $2$ — que es exactamente lo que dice el teorema de factorización. El mismo emparejamiento de conjugados aplicado a $X^4 + 1$, cuyas raíces son $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ y $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$: cada par aporta $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$, luego

identidad invisible para los intentos ingenuos de factorizar sobre $\Q$ — el precio de insistir en coeficientes reales (aquí incluso irracionales), y un ingrediente estándar para integrar $\frac1{x^4 + 1}$ en el Capítulo 15.