Qu'est-ce que « Dérivée, multiplicité » ?

Exemple 8.12 (Calcul d’une multiplicité)

Quelle est la multiplicité de la racine $2$ dans $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ ? Évaluons les dérivées successives en $2$ :

(avec $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$, $P'' = 12X^2 - 30X + 12$, $P''' = 24X - 30$). Trois valeurs nulles puis une valeur non nulle : multiplicité exactement $3$. En divisant, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — ce que l’on vérifie en développant $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ et en multipliant par $X + 1$. L’idée à retenir : les multiplicités se lisent sur des évaluations, sans aucune factorisation — et c’est exactement ainsi qu’on les détecte lorsque la factorisation est hors d’atteinte.

Exemple 8.13 (Détecter les racines multiples par un PGCD)

Lorsqu’aucune racine n’est connue, la Proposition 8.11 fournit encore un détecteur global de racines multiples : $a$ est racine multiple de $P$ si et seulement si c’est une racine commune à $P$ et $P'$, donc $P$ a une racine multiple (dans $\C$) si et seulement si $\gcd(P, P') \neq 1$ — ce qui se calcule par l’algorithme d’Euclide sans rien résoudre. Un échantillon : $P = X^3 - 3X + 2$, $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. Testons les racines $\pm1$ de $P'$ dans $P$ : $P(1) = 0$ mais $P(-1) = 4$, donc

la racine $1$ est multiple ; en divisant deux fois, $P = (X - 1)^2(X + 2)$. Le PGCD livre même l’ensemble complet des racines multiples, chacune avec sa multiplicité abaissée d’une unité — fait que tout système de calcul formel exploite pour « factoriser sans facteur carré » avant toute recherche de racines, et jumeau polynomial des arguments d’absence de racine multiple de l’Exercice 8.9.

Exemple 8.17

$X^4 + 4$ a été factorisé sur $\R$ dans l’Exercice 3.5 en appariant les quatre racines complexes $\pm 1 \pm \iu$ : $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. Aucun des deux trinômes ne se scinde sur $\R$ (discriminants $-4$). À noter : un polynôme réel irréductible est de degré $1$ ou $2$ — c’est exactement ce que dit le théorème de factorisation. Le même appariement conjugué appliqué à $X^4 + 1$, dont les racines sont $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ et $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ : chaque paire contribue pour $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$, donc

identité invisible aux tentatives naïves de factorisation sur $\Q$ — le prix à payer pour exiger des coefficients réels (ici même irrationnels), et une donnée standard pour intégrer $\frac1{x^4 + 1}$ au Chapitre 15.