Wat is Afgeleide, multipliciteit?

Voorbeeld 8.12 (Een multipliciteit berekenen)

Wat is de multipliciteit van de wortel $2$ in $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$? Evalueer de opeenvolgende afgeleiden in $2$:

(met $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$, $P'' = 12X^2 - 30X + 12$ en $P''' = 24X - 30$). Drie waarden nul en dan een waarde ongelijk aan nul: multipliciteit precies $3$. Delen geeft $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — wat je nagaat door $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ uit te werken en met $X + 1$ te vermenigvuldigen. Het inzicht: multipliciteiten lees je af aan evaluaties, zonder ontbinding — en precies zo spoor je ze op wanneer de ontbinding buiten bereik ligt.

Voorbeeld 8.13 (Meervoudige wortels opsporen met een ggd)

Ook zonder één bekende wortel levert Propositie 8.11 nog een globale detector van meervoudige wortels: $a$ is een meervoudige wortel van $P$ precies wanneer het een gemeenschappelijke wortel van $P$ en $P'$ is, zodat $P$ een meervoudige wortel (in $\C$) heeft precies wanneer $\gcd(P, P') \neq 1$ — berekenbaar met het algoritme van Euclides zonder ook maar iets op te lossen. Voorbeeld: $P = X^3 - 3X + 2$ met $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. De wortels $\pm1$ van $P'$ in $P$ toetsen: $P(1) = 0$ maar $P(-1) = 4$, dus

de wortel $1$ is meervoudig; tweemaal delen geeft $P = (X - 1)^2(X + 2)$. De ggd meldt zelfs de volledige verzameling meervoudige wortels, elk met een multipliciteit die één lager ligt — het feit dat elk computeralgebrasysteem uitbuit om “kwadraatvrij te ontbinden” vóór er naar wortels gejaagd wordt, en de veeltermtegenhanger van de argumenten zonder meervoudige wortels in Oefening 8.9.

Voorbeeld 8.17

$X^4 + 4$ werd in Oefening 3.5 over $\R$ ontbonden door de vier complexe wortels $\pm 1 \pm \iu$ te koppelen: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. Geen van beide kwadratische factoren splitst over $\R$ (discriminanten $-4$). Merk op: een irreducibele reële veelterm heeft graad $1$ of $2$ — en dat is precies wat de ontbindingsstelling zegt. Hetzelfde koppelen van toegevoegde wortels toegepast op $X^4 + 1$, waarvan de wortels $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ en $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ zijn: elk paar draagt $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ bij, dus

een identiteit die onzichtbaar blijft voor naïeve ontbindingspogingen over $\Q$ — de prijs van het aandringen op reële (hier zelfs irrationale) coëfficiënten, en een standaardingrediënt voor het integreren van $\frac1{x^4 + 1}$ in Hoofdstuk 15.