अवकलज, बहुलता क्या है?

उदाहरण 8.12 (बहुलता की संगणना)

$P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ में मूल $2$ की बहुलता क्या है? $2$ पर क्रमिक अवकलजों का मान लीजिए:

(जहाँ $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$, $P'' = 12X^2 - 30X + 12$, $P''' = 24X - 30$)। तीन लुप्त मान और फिर एक अशून्य: अतः बहुलता ठीक $3$। भाग देने पर $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — जिसकी जाँच $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ का प्रसार करके और $X + 1$ से गुणा करके की जा सकती है। सार: बहुलताएँ मानों से पढ़ी जाती हैं, किसी गुणनखंडन की आवश्यकता नहीं — और ठीक इसी तरह उन्हें तब पकड़ा जाता है जब गुणनखंडन पहुँच से बाहर हो।

उदाहरण 8.13 (महत्तम समापवर्तक से बहु मूल पकड़ना)

जब कोई मूल ज्ञात न हो, तब भी प्रतिज्ञप्ति 8.11 एक समग्र बहु-मूल संसूचक देता है: $a$ $P$ का बहु मूल है तभी जब वह $P$ और $P'$ का उभयनिष्ठ मूल हो, अतः $P$ का (किसी $\C$ में) बहु मूल है तभी जब $\gcd(P, P') \neq 1$ — और यह यूक्लिडीय कलनविधि से, बिना कुछ हल किए, संगणनीय है। नमूना: $P = X^3 - 3X + 2$, $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$। $P$ के भीतर $P'$ के मूल $\pm1$ जाँचिए: $P(1) = 0$, पर $P(-1) = 4$, अतः

मूल $1$ बहु है; दो बार भाग देने पर $P = (X - 1)^2(X + 2)$। महत्तम समापवर्तक तो बहु मूलों का पूरा समुच्चय बता देता है, प्रत्येक की बहुलता एक कम करके — यही तथ्य हर संगणक-बीजगणित प्रणाली किसी भी मूल-खोज से पहले “वर्ग-मुक्त गुणनखंडन” के लिए प्रयोग करती है, और यह अभ्यास 8.9 के बहु-मूल-रहित तर्कों का बहुपदीय जुड़वाँ है।

उदाहरण 8.17

अभ्यास 3.5 में $X^4 + 4$ का $\R$ पर गुणनखंडन चारों सम्मिश्र मूलों $\pm 1 \pm \iu$ को युग्मित करके किया गया था: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$। कोई भी द्विघात $\R$ पर नहीं टूटता (विविक्तकर $-4$)। ध्यान दीजिए: अखंडनीय वास्तविक बहुपद की घात $1$ या $2$ होती है — गुणनखंडन प्रमेय ठीक यही कहती है। वही संयुग्मी-युग्मन $X^4 + 1$ पर चलाइए, जिसके मूल $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ और $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ हैं: प्रत्येक जोड़ा $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ का योगदान करता है, अतः

यह ऐसी सर्वसमिका है जो $\Q$ पर भोले गुणनखंडन-प्रयासों को दिखाई नहीं देती — यही वास्तविक (यहाँ तो अपरिमेय) गुणांकों पर अड़े रहने की कीमत है, और अध्याय 15 में $\frac1{x^4 + 1}$ के समाकलन के लिए एक मानक निवेश।