Apa itu Turunan, kegandaan?

Contoh 8.12 (Menghitung sebuah kegandaan)

Berapa kegandaan akar $2$ pada $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$? Hitunglah nilai turunan berturutannya di $2$:

(dengan $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$, $P'' = 12X^2 - 30X + 12$, $P''' = 24X - 30$). Tiga nilai yang lenyap lalu satu yang tak nol: jadi kegandaannya tepat $3$. Dengan membaginya, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — yang kita periksa dengan menjabarkan $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ lalu mengalikannya dengan $X + 1$. Inti gagasannya: kegandaan terbaca dari perhitungan nilai, tanpa perlu pemfaktoran — dan justru begitulah kita mendeteksinya ketika pemfaktorannya di luar jangkauan.

Contoh 8.13 (Mendeteksi akar ganda lewat FPB)

Ketika tak ada akar yang diketahui, Proposisi 8.11 tetap memberikan pendeteksi akar ganda yang global: $a$ merupakan akar ganda $P$ jika dan hanya jika ia akar persekutuan $P$ dan $P'$, sehingga $P$ mempunyai akar ganda (di $\C$) jika dan hanya jika $\gcd(P, P') \neq 1$ — yang dapat dihitung dengan algoritma Euclid tanpa menyelesaikan apa pun. Contohnya: $P = X^3 - 3X + 2$, $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. Dengan menguji akar $\pm1$ dari $P'$ di dalam $P$: $P(1) = 0$ tetapi $P(-1) = 4$, jadi

jadi akar $1$ bersifat ganda; dan dengan membaginya dua kali, $P = (X - 1)^2(X + 2)$. FPB itu bahkan melaporkan seluruh himpunan akar gandanya, masing-masing dengan kegandaan yang berkurang satu — fakta yang dimanfaatkan setiap sistem aljabar komputer untuk “memfaktorkan bebas kuadrat” sebelum berburu akar, dan ia kembaran polinomial bagi argumen tanpa akar ganda pada Latihan 8.9.

Contoh 8.17

$X^4 + 4$ sudah difaktorkan atas $\R$ pada Latihan 3.5 dengan memasangkan keempat akar kompleksnya $\pm 1 \pm \iu$: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. Tak satu pun kuadratnya terbelah atas $\R$ (karena diskriminannya $-4$). Catatan: polinomial real yang tak tereduksikan berderajat $1$ atau $2$ — dan itu persis yang dikatakan teorema pemfaktorannya. Pemasangan konjugat yang sama dijalankan pada $X^4 + 1$, yang akarnya $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ dan $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$: masing-masing pasangan menyumbang $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$, sehingga

yaitu kesamaan yang tak terlihat oleh usaha pemfaktoran yang naif atas $\Q$ — itulah harga yang dibayar karena bersikeras memakai koefisien real (di sini bahkan irasional), dan ia masukan baku untuk mengintegralkan $\frac1{x^4 + 1}$ pada Bab 15.