O que é Derivada, multiplicidade?

Exemplo 8.12 (Calculando uma multiplicidade)

Qual é a multiplicidade da raiz $2$ em $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$? Avalie as derivadas sucessivas em $2$:

(com $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$, $P'' = 12X^2 - 30X + 12$, $P''' = 24X - 30$). Três valores nulos e depois um não nulo: multiplicidade exatamente $3$. Dividindo, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — o que se confere expandindo $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ e multiplicando por $X + 1$. A ideia: as multiplicidades são lidas em avaliações, sem necessidade de fatoração — e é exatamente assim que se as detecta quando a fatoração está fora de alcance.

Exemplo 8.13 (Detectando raízes múltiplas com um mdc)

Quando nenhuma raiz é conhecida, a Proposição 8.11 ainda fornece um detector global de raízes múltiplas: $a$ é raiz múltipla de $P$ se, e somente se, é raiz comum de $P$ e $P'$, de modo que $P$ tem raiz múltipla (em $\C$) se, e somente se, $\gcd(P, P') \neq 1$ — o que é computável pelo algoritmo de Euclides sem resolver nada. Exemplo: $P = X^3 - 3X + 2$, $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. Testando as raízes $\pm1$ de $P'$ dentro de $P$: $P(1) = 0$, mas $P(-1) = 4$, logo

a raiz $1$ é múltipla; dividindo duas vezes, $P = (X - 1)^2(X + 2)$. O mdc chega a relatar o conjunto completo das raízes múltiplas, cada uma com multiplicidade abaixada de uma unidade — fato que todo sistema de álgebra computacional explora para “fatorar sem quadrados” antes de qualquer caça a raízes, e o gêmeo polinomial dos argumentos de ausência de raiz múltipla do Exercício 8.9.

Exemplo 8.17

$X^4 + 4$ foi fatorado sobre $\R$ no Exercício 3.5, emparelhando as quatro raízes complexas $\pm 1 \pm \iu$: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. Nenhuma das quadráticas se decompõe sobre $\R$ (discriminantes $-4$). Note: um polinômio real irredutível tem grau $1$ ou $2$ — é exatamente o que o teorema de fatoração diz. O mesmo emparelhamento de conjugados aplicado a $X^4 + 1$, cujas raízes são $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ e $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$: cada par contribui com $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$, de modo que

uma identidade invisível a tentativas ingênuas de fatoração sobre $\Q$ — o preço de insistir em coeficientes reais (aqui, até irracionais) e um insumo padrão para integrar $\frac1{x^4 + 1}$ no Capítulo 15.