Apa itu terdiferensialkan?

Contoh 15.4 (Fungsi radial, sekali untuk selamanya)

Misalkan $r(x) = \norm x_2$ pada $\R^n\setminus\{0\}$ dan $f = g \circ r$ dengan $g$ fungsi $C^1$ satu peubah. Pertama, $r$ bersifat terdiferensialkan jauh dari $0$: sebab dari $r^2 = \sum x_i^2$,

yakni vektor radial satuannya (turunkan $r^2$ lalu bagilah — atau terapkan aturan rantai pada $\sqrt{\cdot}$). Lalu aturan rantainya memberi, untuk setiap fungsi radial,

Contoh yang dikerjakan: $g(r) = \frac1r$ menghasilkan $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$, yakni medan kuadrat-terbalik milik gravitasi dan elektrostatika — dengan arah radial dan besar $\frac{1}{\norm x^2}$. Pelajaran penutupnya: gradien fungsi radial bersifat radial karena himpunan arasnya berupa bola dan gradiennya ortogonal terhadap himpunan aras; sedangkan di $x = 0$, sebaliknya, $r$ tidak terdiferensialkan (sebab tak ada calon pemetaan linear yang cocok dengan $\norm h$ dari segala arah) — jadi profil radial yang mulus menuntut $g'(0) = 0$ agar dapat menyeberangi titik asalnya dengan anggun.

Contoh 15.6 (Sebuah konstanta Lipschitz dari ketaksamaan nilai rerata)

Apakah $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ bersifat Lipschitz pada $\R^2$, dan dengan konstanta yang mana? Gradiennya $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$, yang kuadrat normanya

(sebab $\cos^2x$ dan $\sin^2x$ dibatasi $1$ secara terpisah), jadi $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ di mana-mana, lalu Teorema 15.5 pada ruas antara sembarang dua titik memberi

jadi $f$ bersifat Lipschitz berkonstanta $1$, dan konstantanya tajam (sebab di dekat titik asalnya, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ berlereng $1$). Pelajaran penutupnya: ketaksamaan nilai rerata mengubah batas titik demi titik pada diferensialnya menjadi modulus kekontinuan yang global — yakni rute baku menuju taksiran Lipschitz pada setiap dimensi, sekaligus mesin di dalam Latihan 15.12.