¿Qué es diferenciable?

Ejemplo 15.4 (Funciones radiales, de una vez por todas)

Sean $r(x) = \norm x_2$ sobre $\R^n\setminus\{0\}$ y $f = g \circ r$ con $g$ una función $C^1$ de una variable. Primero, $r$ es diferenciable fuera de $0$: de $r^2 = \sum x_i^2$,

el vector radial unitario (derívese $r^2$ y divídase, o aplíquese la regla de la cadena a $\sqrt{\cdot}$). Entonces la regla de la cadena da, para toda función radial,

Ejemplo resuelto: $g(r) = \frac1r$ da $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$, el campo del inverso del cuadrado de la gravitación y la electrostática: de dirección radial y magnitud $\frac{1}{\norm x^2}$. Moraleja: los gradientes de las funciones radiales son radiales porque las curvas de nivel son esferas y el gradiente es ortogonal a ellas; en $x = 0$, en cambio, $r$ no es diferenciable (ninguna aplicación lineal candidata se ajusta a $\norm h$ desde todas las direcciones): los perfiles radiales suaves necesitan $g'(0) = 0$ para cruzar el origen con elegancia.

Ejemplo 15.6 (Una constante de Lipschitz a partir de la desigualdad del valor medio)

¿Es $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ lipschitziana sobre $\R^2$, y con qué constante? Su gradiente es $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$, de norma al cuadrado

(acótense $\cos^2x$ y $\sin^2x$ por $1$ por separado), luego $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ en todas partes, y el Teorema 15.5 sobre el segmento entre dos puntos cualesquiera da

$f$ es $1$-lipschitziana, y la constante es óptima (cerca del origen, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ tiene pendiente $1$). Moraleja: la desigualdad del valor medio convierte una cota puntual de la diferencial en un módulo global de continuidad; la vía estándar hacia las estimaciones lipschitzianas en toda dimensión, y el motor que hay dentro del Ejercicio 15.12.