O que é diferenciável?

Exemplo 15.4 (Funções radiais, de uma vez por todas)

Sejam $r(x) = \norm x_2$ em $\R^n\setminus\{0\}$ e $f = g \circ r$ com $g$ uma função $C^1$ de uma variável. Primeiro, $r$ é diferenciável fora de $0$: de $r^2 = \sum x_i^2$,

o vetor radial unitário (derive $r^2$ e divida — ou aplique a regra da cadeia a $\sqrt{\cdot}$). Então a regra da cadeia dá, para toda função radial,

Instância trabalhada: $g(r) = \frac1r$ fornece $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$, o campo inverso do quadrado da gravitação e da eletrostática — direção radial, magnitude $\frac{1}{\norm x^2}$. Lição final: os gradientes de funções radiais são radiais porque as superfícies de nível são esferas e o gradiente é ortogonal às superfícies de nível; em $x = 0$, em contraste, $r$ não é diferenciável (nenhuma aplicação linear candidata casa com $\norm h$ vinda de todas as direções) — perfis radiais suaves precisam de $g'(0) = 0$ para cruzar a origem com elegância.

Exemplo 15.6 (Uma constante de Lipschitz pela DVM)

$f(x, y) = \sin x\,\sin y$ é lipschitziana em $\R^2$, e com qual constante? Seu gradiente é $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$, de norma ao quadrado

(majore $\cos^2x$ e $\sin^2x$ por $1$ separadamente), logo $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ em toda parte, e Teorema 15.5 no segmento entre dois pontos quaisquer dá

$f$ é $1$-lipschitziana, e a constante é ótima (perto da origem, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ tem inclinação $1$). Lição final: a desigualdade do valor médio converte uma cota pontual sobre a diferencial num módulo global de continuidade — a rota padrão para estimativas lipschitzianas em qualquer dimensão, e o motor dentro do Exercício 15.12.