अवकलनीय क्या है? — गणित

परिभाषा 15.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 15 — अवकल कलन

$f$ $a$ पर अवकलनीय कहलाता है जब कोई (संतत) रैखिक प्रतिचित्रण $\dd f_a \colon \R^n \to \R^m$ ऐसा हो कि

f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h) \qquad (h \to 0).

प्रतिचित्रण $\dd f_a$ , अर्थात् $a$ पर $f$ का अवकल, अद्वितीय होता है; और विहित आधारों में उसका आव्यूह याकोबी आव्यूह $J_f(a) = \bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$ है। अवकलनीयता से संततता तथा सभी दिशिक अवकलजों $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv) - f(a)}{t}$ का अस्तित्व निकलता है; पर विलोम विफल है (अभ्यास 15.2)। $m = 1$ के लिए $\dd f_a(h) = \langle \nabla f(a), h\rangle$ : अर्थात् प्रथम वर्ष का प्रवणक, अब अवकल को निरूपित करने वाले सदिश के रूप में समझा हुआ।

उदाहरण

उदाहरण 15.4 (त्रिज्यीय फलन, एक बार में सदा के लिए)

$\R^n\setminus\{0\}$ पर $r(x) = \norm x_2$ लीजिए और $f = g \circ r$ लीजिए, जहाँ $g$ एक चर का $C^1$ फलन है। पहले, $r$ $0$ से दूर अवकलनीय है: $r^2 = \sum x_i^2$ से

\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r}, \qquad\text{अर्थात्}\qquad \nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,

अर्थात् इकाई त्रिज्यीय सदिश ( $r^2$ का अवकलन करके भाग दीजिए — अथवा $\sqrt{\cdot}$ पर शृंखला नियम लगाइए)। फिर शृंखला नियम हर त्रिज्यीय फलन के लिए देता है

\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .

किया हुआ उदाहरण: $g(r) = \frac1r$ $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$ देता है, अर्थात् गुरुत्वाकर्षण और स्थिरवैद्युतिकी का प्रतिलोम-वर्ग क्षेत्र — दिशा त्रिज्यीय, परिमाण $\frac{1}{\norm x^2}$ । समापन दृष्टि: त्रिज्यीय फलनों के प्रवणक इसलिए त्रिज्यीय होते हैं कि उनके स्तर समुच्चय गोले हैं और प्रवणक स्तर समुच्चयों के लांबिक होता है; इसके विपरीत $x = 0$ पर $r$ अवकलनीय नहीं है (कोई भी उम्मीदवार रैखिक प्रतिचित्रण सभी दिशाओं से $\norm h$ से मेल नहीं खाता) — मूल बिंदु को शालीनता से पार करने के लिए त्रिज्यीय परिच्छेदिकाओं को $g'(0) = 0$ चाहिए।

उदाहरण 15.6 (मध्यमान असमिका से एक लिप्शिट्स अचर)

क्या $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ $\R^2$ पर लिप्शिट्स है, और किस अचर के साथ? उसका प्रवणक $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$ है, जिसका वर्ग-मानदंड

\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y \leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1

है ( $\cos^2x$ और $\sin^2x$ को अलग-अलग $1$ से परिबद्ध कीजिए), अतः सर्वत्र $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ ; और किन्हीं दो बिंदुओं के बीच के खंड पर प्रमेय 15.5 देता है

\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :

अर्थात् $f$ $1$ -लिप्शिट्स है, और अचर तीखा है (मूल बिंदु के पास $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ की ढाल $1$ है)। समापन दृष्टि: मध्यमान असमिका अवकल के किसी बिंदुवार परिबंध को संततता के वैश्विक मापांक में बदल देती है — और हर विमा में लिप्शिट्स आकलनों का यही मानक रास्ता है, तथा अभ्यास 15.12 के भीतर का इंजन भी।

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