Qu'est-ce que « différentiable » ?

Exemple 15.4 (Fonctions radiales, une fois pour toutes)

Soit $r(x) = \norm x_2$ sur $\R^n\setminus\{0\}$ et $f = g \circ r$ avec $g$ une fonction $C^1$ d’une variable. D’abord, $r$ est différentiable en dehors de $0$ : de $r^2 = \sum x_i^2$,

le vecteur radial unitaire (dériver $r^2$ et diviser — ou appliquer la règle de la chaîne à $\sqrt{\cdot}$). Alors la règle de la chaîne donne, pour toute fonction radiale,

Cas travaillé : $g(r) = \frac1r$ donne $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$, le champ en carré inverse de la gravitation et de l’électrostatique — de direction radiale, de norme $\frac{1}{\norm x^2}$. Idée à retenir : les gradients des fonctions radiales sont radiaux parce que les ensembles de niveau sont des sphères et que le gradient est orthogonal aux ensembles de niveau ; en $x = 0$, en revanche, $r$ n’est pas différentiable (aucune application linéaire candidate ne correspond à $\norm h$ dans toutes les directions) — les profils radiaux lisses ont besoin de $g'(0) = 0$ pour franchir l’origine avec grâce.

Exemple 15.6 (Une constante de Lipschitz issue de l’inégalité des accroissements finis)

La fonction $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ est-elle lipschitzienne sur $\R^2$, et avec quelle constante ? Son gradient est $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$, de norme au carré

(majorer $\cos^2x$ et $\sin^2x$ par $1$ séparément), donc $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ partout, et le Théorème 15.5 appliqué au segment entre deux points quelconques donne

$f$ est $1$-lipschitzienne, et la constante est optimale (près de l’origine, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ a une pente $1$). Idée à retenir : l’inégalité des accroissements finis convertit une majoration ponctuelle de la différentielle en un module de continuité global — la voie standard vers les estimations de Lipschitz en toute dimension, et le moteur de l’Exercice 15.12.