Wat is differentieerbaar? — Wiskunde

Definitie 15.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 15 — Differentiaalrekening

$f$ heet differentieerbaar in $a$ wanneer er een (continue) lineaire afbeelding $\dd f_a \colon \R^n \to \R^m$ bestaat met

f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h) \qquad (h \to 0).

De afbeelding $\dd f_a$ , de differentiaal van $f$ in $a$ , is uniek; haar matrix in de canonieke basissen is de jacobimatrix $J_f(a) = \bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$ . Differentieerbaarheid impliceert continuïteit en het bestaan van alle richtingsafgeleiden $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv) - f(a)}{t}$ ; het omgekeerde faalt (Oefening 15.2). Voor $m = 1$ is $\dd f_a(h) = \langle \nabla f(a), h\rangle$ : de gradiënt uit bachelorjaar 1, nu begrepen als de vector die de differentiaal voorstelt.

Voorbeelden

Voorbeeld 15.4 (Radiale functies, eens en voor altijd)

Zij $r(x) = \norm x_2$ op $\R^n\setminus\{0\}$ en $f = g \circ r$ met $g$ een $C^1$ -functie van één veranderlijke. Eerst is $r$ differentieerbaar buiten $0$ : uit $r^2 = \sum x_i^2$ volgt

\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r}, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad \nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,

de radiale eenheidsvector (differentieer $r^2$ en deel — of pas de kettingregel toe op $\sqrt{\cdot}$ ). Vervolgens geeft de kettingregel voor elke radiale functie

\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .

Uitgewerkt geval: $g(r) = \frac1r$ levert $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$ op, het omgekeerd-kwadratische veld van de zwaartekracht en de elektrostatica — radiaal van richting, met grootte $\frac{1}{\norm x^2}$ . Het inzicht om te onthouden: gradiënten van radiale functies zijn radiaal omdat de niveauverzamelingen bollen zijn en de gradiënt loodrecht op de niveauverzamelingen staat; in $x = 0$ daarentegen is $r$ niet differentieerbaar (geen enkele kandidaat-lineaire afbeelding past bij $\norm h$ uit alle richtingen) — gladde radiale profielen hebben $g'(0) = 0$ nodig om de oorsprong sierlijk te passeren.

Voorbeeld 15.6 (Een lipschitzconstante uit de middelwaardeongelijkheid)

Is $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ lipschitz op $\R^2$ , en met welke constante? Haar gradiënt is $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$ , met kwadratische norm

\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y \leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1

(begrens $\cos^2x$ en $\sin^2x$ afzonderlijk door $1$ ), dus $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ overal, en Stelling 15.5 op het segment tussen twee willekeurige punten geeft

\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :

$f$ is $1$ -lipschitz, en de constante is scherp (nabij de oorsprong heeft $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ helling $1$ ). Het inzicht om te onthouden: de middelwaardeongelijkheid zet een puntsgewijze grens op de differentiaal om in een globale continuïteitsmodulus — de standaardweg naar lipschitzschattingen in elke dimensie, en de motor in Oefening 15.12.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen