الفضاء الثنوي، الأساس الثنوي কী?

مثال 2.2

على $K_n[X]$ بالأساس $(1, X, \dots, X^n)$: الأساس الثنوي هو $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (أي معاملات تايلور). وثمة أساس آخر للثنوي: التقييمات $P \mapsto P(x_i)$ عند $n + 1$ نقطة مختلفة — وأساسه “القبلي” في $K_n[X]$ هو بالضبط عائلة كثيرات حدود لاغرانج $L_i$ (مجلد السنة الأولى)، لأن $L_i(x_j) = \delta_{ij}$. فالاستكمال هو الثنوية.

مثال 2.4 (أساس ثنوي للفضاء $\R^2$، محسوب بالكامل)

من أجل الأساس $b_1 = (1, 1)$، $b_2 = (1, -1)$ للفضاء $\R^2$: يجب أن يحقق الأساس الثنوي $(b_1^*, b_2^*)$ الشرط $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$. وبكتابة $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$، يعطي الشرطان $\alpha + \beta = 1$ و$\alpha - \beta = 0$

وللتحقق: $b_1^*$ ليست $e_1^* + e_2^*$ مقيَّمة ببساطة — فالأساس الثنوي يتعلق بالأساس كله، لا بكل متجهة على حدة (فتعويض $b_2$ بالمتجهة $(0, 1)$ يحوّل $b_1^*$ إلى $x \mapsto x$). وصيغة النشر تعمل: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$، وهو تفكيك الزوج إلى جزء زوجي وآخر فردي — فالأسس الثنوية مستخرِجات إحداثيات، وهذا الأساس يستخرج الجزأين المتماثل وضدّ المتماثل.

مثال 2.9 (المنقول، عنصرًا عنصرًا)

ليكن للتطبيق $u \colon \R^2 \to \R^3$ المصفوفة $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ في الأسس القانونية. من أجل $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$، نحسب $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ على أساس الفضاء $\R^2$:

ومنه $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$، وتكون مصفوفة $u^{\mathsf T}$ في الأسس الثنوية هي

فالمنقول المجرد هو المصفوفة المقلوبة، ولم يبقَ حساب يُؤخذ على الثقة. ولاحظ الآلية: صار العمود رقم $j$ من $A$ هو السطر رقم $j$ في المصفوفة الجديدة لأن $\psi \circ u$ يقرأ مخرجات $u$ عبر معاملات $\psi$.