ما معنى المعايير المتكافئة؟

مثال 5.4 (عدم التكافؤ في البعد غير المنتهي)

على $C(\intcc{0}{1})$: $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ دائمًا، لكن لا يصحّ أي حدّ معاكس: فالدالة $f_n(x) = x^n$ لها $\norm{f_n}_\infty = 1$ و$\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$. ومنه $f_n \to 0$ من أجل $\norm\cdot_1$ لا من أجل $\norm\cdot_\infty$: فالمعياران يختلفان في التقارب نفسه.

مثال 5.5 (ثوابت صريحة في البعد $n$)

على $K^n$ تتكافأ المعايير الكلاسيكية الثلاثة بثوابت مثلى:

والحدّ الأوسط $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ آتٍ من متراجحة كوشي–شوارتز في مقابل المتجهة ذات الواحدات. والمتجهات الحدّية: $e_1$ تجعل المتراجحتين الأوليين مساواتين، و$(1, 1, \dots, 1)$ تجعل الأخيرتين كذلك. ويظهر البعد $n$ بوضوح في الثوابت — وهو البذرة الكمّية للفشل في البعد غير المنتهي: فحين $n \to \infty$ لا يبقى أي ثابت منتظم، وهذا بالضبط ما يُبرزه المثال 5.4 على فضاءات الدوال.