¿Qué es Normas equivalentes?

Ejemplo 5.4 (No equivalencia en dimensión infinita)

Sobre $C(\intcc{0}{1})$ se cumple siempre $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$, pero no hay ninguna cota recíproca: $f_n(x) = x^n$ tiene $\norm{f_n}_\infty = 1$ y $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$. Así pues, $f_n \to 0$ para $\norm\cdot_1$ pero no para $\norm\cdot_\infty$: las dos normas discrepan sobre la propia noción de convergencia.

Ejemplo 5.5 (Constantes explícitas en dimensión $n$)

Sobre $K^n$, las tres normas clásicas son equivalentes con constantes óptimas:

donde la cota central $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ procede de Cauchy–Schwarz contra el vector de unos. Vectores extremales: $e_1$ convierte las dos primeras desigualdades en igualdades, y $(1, 1, \dots, 1)$ las dos últimas. La dimensión $n$ aparece visiblemente en las constantes: es la semilla cuantitativa del fracaso en dimensión infinita, pues cuando $n \to \infty$ no sobrevive ninguna constante uniforme, que es exactamente lo que exhibe el Ejemplo 5.4 sobre espacios de funciones.