Qu'est-ce que « Normes équivalentes » ?

Exemple 5.4 (Non-équivalence en dimension infinie)

Sur $C(\intcc{0}{1})$ : $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ toujours, mais aucune borne inverse ne tient : $f_n(x) = x^n$ vérifie $\norm{f_n}_\infty = 1$ et $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$. Ainsi $f_n \to 0$ pour $\norm\cdot_1$ mais pas pour $\norm\cdot_\infty$ : les deux normes sont en désaccord sur la convergence elle-même.

Exemple 5.5 (Constantes explicites en dimension $n$)

Sur $K^n$, les trois normes classiques sont équivalentes avec des constantes optimales :

la borne médiane $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ provenant de Cauchy–Schwarz contre le vecteur constant égal à $1$. Vecteurs extrémaux : $e_1$ rend les deux premières inégalités des égalités, $(1, 1, \dots, 1)$ les deux dernières. La dimension $n$ figure visiblement dans les constantes — la graine quantitative de l’échec en dimension infinie : lorsque $n \to \infty$, aucune constante uniforme ne survit, ce qui est exactement ce que l’Exemple 5.4 exhibe sur les espaces de fonctions.