O que é Normas equivalentes?

Exemplo 5.4 (Não equivalência em dimensão infinita)

Em $C(\intcc{0}{1})$: $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ sempre, mas nenhuma cota recíproca vale: $f_n(x) = x^n$ tem $\norm{f_n}_\infty = 1$ e $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$. Logo $f_n \to 0$ para $\norm\cdot_1$ mas não para $\norm\cdot_\infty$: as duas normas discordam sobre a própria convergência.

Exemplo 5.5 (Constantes explícitas em dimensão $n$)

Em $K^n$ as três normas clássicas são equivalentes com constantes ótimas:

vindo a cota do meio $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ de Cauchy–Schwarz contra o vetor de uns. Vetores extremais: $e_1$ torna as duas primeiras desigualdades igualdades, e $(1, 1, \dots, 1)$ as duas últimas. A dimensão $n$ aparece visivelmente nas constantes — a semente quantitativa do fracasso em dimensão infinita: quando $n \to \infty$ nenhuma constante uniforme sobrevive, que é exatamente o que o Exemplo 5.4 exibe em espaços de funções.