Wat is Equivalente normen?

Voorbeeld 5.4 (Geen equivalentie in oneindige dimensie)

Op $C(\intcc{0}{1})$ geldt altijd $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$, maar er is geen omgekeerde grens: $f_n(x) = x^n$ heeft $\norm{f_n}_\infty = 1$ en $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$. Dus $f_n \to 0$ voor $\norm\cdot_1$ maar niet voor $\norm\cdot_\infty$: de twee normen zijn het oneens over de convergentie zelf.

Voorbeeld 5.5 (Expliciete constanten in dimensie $n$)

Op $K^n$ zijn de drie klassieke normen equivalent met scherpe constanten:

waarbij de middelste grens $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ uit Cauchy–Schwarz tegen de vector vol enen komt. Extremale vectoren: $e_1$ maakt de eerste twee ongelijkheden tot gelijkheden, en $(1, 1, \dots, 1)$ de laatste twee. De dimensie $n$ zit zichtbaar in de constanten — het kwantitatieve zaad van het falen in oneindige dimensie: als $n \to \infty$ overleeft geen enkele uniforme constante, en dat is precies wat Voorbeeld 5.4 op functieruimten laat zien.