2الجبر: المعادلات والمتراجحات

حل المسألة 2.1.

1. $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$؛ $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$؛ $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$.

2. $x = -1$ أو $x = -5$؛ $x = \frac73$ أو $x = -\frac73$.

3. $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ يعطي $t^2 = 4$، أي $t = 2$: والعددان هما $3$ و $7$ (المجموع $10$، والجداء $21$: تحقق).

4. $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$: نجد $t = 4$، والعددان $3$ و $11$.

5. $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ يفرض $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$. ويوجد حل بالضبط عندما يكون هذا المقدار $\geq 0$، أي عندما $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ — فجداء عددين معلوم مجموعهما لا يمكن أن يتجاوز مربع نصف المجموع (وهذا ما كانت تعرفه مسألة سياج الملكة ديدو في الكتاب السابق).

6. $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$: فالمعادلة $x^2 - sx + p = 0$ تقول بالضبط “$x$ أحد عددين مجموعهما $s$ وجداؤهما $p$”.

7. $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$. وبفرق المربعين: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$: الحلان $3$ و $7$ — وهما عددا الكاتب في السؤال 3.

8. $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ يعطي $(x + 3)^2 = 16$، أي $x + 3 = \pm 4$: فيكون $x = 1$ أو $x = -7$.

9. $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ من أجل كل $x$: فلا حل حقيقي. وعلى الصورة $(x + h)^2 + k$: توجد الحلول بالضبط عندما $k \leq 0$ (وعندئذٍ للمعادلة $(x+h)^2 = -k$ الجذران $-h \pm \sqrt{-k}$)؛ أما عندما $k > 0$ فتبقى العبارة موجبة.

10. المربع ذو الضلع $x$ (مساحته $x^2$) مع مستطيلين بعداهما $3 \times x$ (مساحتهما $6x$ إجمالًا) يشكّل شكلًا على هيئة حرف سلّم مساحته $x^2 + 6x = 7$؛ والزاوية الناقصة $3 \times 3$ (مساحتها $9$) تتمّ مربعًا كبيرًا ضلعه $x + 3$. وبإضافة $9$ إلى الطرفين: $(x + 3)^2 = 16$، إذن $x + 3 = 4$ (فالأطوال موجبة) و $x = 1$. الجبر والرسم فعل واحد.

11. $(x-3)(x+2)$: سالب بين الجذرين. فحل $< 0$ هو: $x \in \intoo{-2}{3}$.

12. $x^2 - 10x + 21 \leq 0$، أي $(x - 3)(x - 7) \leq 0$: بين الجذرين، مع إدراج الطرفين: $x \in \intcc{3}{7}$.

13. ينعدم عند $x = 1$، ويمنع عند $x = -2$؛ ويكون الخارج موجبًا خارج الجذرين: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$.

14. $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$: المتطابقة متحققة. وبما أن $(x-5)^2 \geq 0$ دائمًا، فإن $A(x) \leq 25$، مع تحقق المساواة عند $x = 5$ بالضبط: أي الحظيرة المربعة $5 \times 5$، ومساحتها العظمى $25$ م$^2$ — وهو الجدول العددي القديم، وقد صار برهانًا من سطرين.

15. من أجل $x > 0$، اضرب الادعاء في $x$: $x^2 + 1 \geq 2x$، أي $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — وهذا صحيح، مع تحقق المساواة عند $x = 1$ فقط. والقسمة من جديد على $x > 0$ تحفظ كل شيء (القضية 2.13).

16. بالضرب التبادلي في $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (وكل الأطوال موجبة): $x^2 = 1 - x$، أي $x^2 + x - 1 = 0$.

17. $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ يعطي $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$. والجذر الموجب: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$.

18. $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$.

19. $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$، و $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$: متساويان. و $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (وهكذا عُرّف $\varphi$). فالنسبة الذهبية هي العدد الذي يضيف مربعُه واحدًا ويطرح مقلوبُه واحدًا.

20. العدد $\sqrt5$ أصمّ (مسألة نهاية الأسبوع عن الصمم في الكتاب السابق: فالعدد $5$ ليس مربعًا كاملًا)، وإضافة $1$ ثم التنصيف يحفظان كون العدد أصمّ (عمليات ناطقة، المسألة 1.1). النسب: $\frac53 \approx 1.667$ و $\frac85 = 1.600$ و $\frac{13}{8} = 1.625$ و $\frac{21}{13} \approx 1.615$: تعلو وتنخفض بالتناوب، وتضيق حول $\varphi = 1.618\ldots$ — فأعداد الأوزان في مسألة نهاية الأسبوع عن عدّ الأوزان في الكتاب السابق تطارد المقطع الذهبي في الخفاء؛ وفصول المتتاليات ستضبطها متلبسة.