الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

3المقاسات على حلقة مثاليات رئيسية

جبر خطي على حلقة بدل حقل: هذا التغيير الطفيف في الفرضيات يُنتج واحدة من مبرهنات التوحيد الكبرى في الجبر. فالمقاس على $\Z$ زمرة أبيلية؛ والمقاس على $K[X]$ فضاء متجهي مزوَّد بتشاكل ذاتي. ومن ثَمّ فإن مبرهنة البنية للمقاسات المولَّدة بعدد منتهٍ من العناصر على حلقة مثاليات رئيسية تصنّف، دفعةً واحدة، جميع الزمر الأبيلية المولَّدة بعدد منتهٍ و جميع التشاكلات الذاتية إلى حدود التشابه — فاختزال جوردان، الذي حصلت عليه السنة الجامعية 2 بتراجعات دقيقة، يسقط نتيجةً فرعية، ومعه شقيقه الأدق: الصيغة الناظمية الناطقة، الصحيحة على كل حقل. والمحرّك الحسابي هو صيغة سميث الناظمية، وهي حسابٌ للمصفوفات جدير بإقليدس.

في كل ما يلي، $A$ حلقة تبديلية، وستصير قريبًا حلقة مثاليات رئيسية؛ وتعني كلمة «مقاس» مقاسًا على $A$ .

3.1 المقاسات والمقاسات الحرة

تعريف 3.1

المقاس على $A$ هو زمرة أبيلية $(M, +)$ مزوَّدة بضرب سلَّمي $A \times M \to M$ يحقق بديهيات الفضاءات المتجهية: $a(x + y) = ax + ay$ ، $(a + b)x = ax + bx$ ، $(ab)x = a(bx)$ ، $1x = x$ . أما المقاسات الجزئية، وحواصل القسمة $M/N$ ، والتشاكلات (التطبيقات الخطية على $A$ )، والمجاميع المباشرة $\bigoplus_i M_i$ ، ومبرهنات التماثل، فتُعرَّف ويُبرهَن عليها حرفيًا كما في حالة الفضاءات المتجهية والزمر الأبيلية؛ وعلى وجه الخصوص $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ من أجل تشاكل $f$ .

مثال 3.2

الحالات الثلاث المحرّكة.

$A = K$ حقل: فالمقاسات فضاءات متجهية.
$A = \Z$ : فالمقاسات هي بالضبط الزمر الأبيلية (إذ يُفرض على $nx$ أن يكون $x + \dots + x$ )، والمقاسات الجزئية هي الزمر الجزئية.
$A = K[X]$ : فالمقاس فضاء متجهي $V$ على $K$ مزوَّد بتطبيق خطي على $K$ هو $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — وبالعكس، يصير كل زوج $(V, u)$ مع $u \in \mathcal L(V)$ مقاسًا على $K[X]$ بواسطة $P \cdot x = P(u)(x)$ . والمقاسات الجزئية هي بالضبط الفضاءات الجزئية الصامدة تحت $u$ .

والمثالي في $A$ هو بالضبط مقاس جزئي من $A$ ؛ وحلقة القسمة $A/I$ مقاسٌ على $A$ . وخلافًا للفضاءات المتجهية، يمكن أن يكون للمقاسات التواء: ففي $\Z/6\Z$ ، يُبيد العنصرَ $\bar 3 \ne 0$ العنصرُ $2 \neq 0$ .

تعريف 3.3

يكون $M$ مولَّدًا بعدد منتهٍ من العناصر إذا كان $M = Ax_1 + \dots + Ax_n$ من أجل عناصر $x_i$ ما. ويكون $M$ حرًّا من الرتبة $n$ إذا كان $M \cong A^n$ ، أي إذا كان له أساس (عائلة مولِّدة ومستقلة خطيًا على $A$ ). وكل مقاس $M$ مولَّد بعدد منتهٍ هو حاصل قسمة لمقاس حر: إذ يرسل $(a_1, \dots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i$ المقاسَ $A^n$ على $M$ .

قضية 3.4 (صمود الرتبة)

إذا كان $A \neq 0$ و $A^m \cong A^n$ ، فإن $m = n$ .

برهان. نختار مثاليًا أعظميًا $\mathfrak m$ في $A$ (المبرهنة 2.8) ونضع $k = A/\mathfrak m$ ، وهو حقل. ويرسل التماثل $f \colon A^m \to A^n$ المقاس $\mathfrak m A^m$ داخل $\mathfrak m A^n$ (بالخطية)، ومنه فهو يُحدث تماثلًا بين حاصلَي القسمة

A^m/\mathfrak m A^m \;\cong\; A^n/\mathfrak m A^n, \qquad\text{أي}\qquad k^m \cong k^n

بوصفهما فضاءين متجهيين على $k$ (إذ يُبيد $\mathfrak m$ حاصلَ القسمة $A^m/\mathfrak m A^m$ ، ومنه فإن فعل $A$ يتحلّل عبر $k$ ؛ وصور الأساس القانوني تشكّل أساسًا على $k$ ). وتعطي نظرية البُعد على الحقل $k$ أن $m = n$ . ∎

مبرهنة 3.5 (المقاسات الجزئية من مقاس حر)

لتكن $A$ حلقة مثاليات رئيسية وليكن $M \subseteq A^n$ مقاسًا جزئيًا. عندئذٍ يكون $M$ حرًّا ورتبته $\leq n$ .

برهان. بالتراجع على $n$ . من أجل $n = 1$ : يكون $M$ مثاليًا، ومنه $M = (0)$ (وهو حر من الرتبة $0$ ) أو $M = dA \cong A$ (إذ إن $x \mapsto dx$ متباين لأن الحلقة تامة). ومن أجل $n > 1$ : ليكن $\pi \colon A^n \to A$ الإحداثي الأخير. عندئذٍ يكون $\pi(M)$ مثاليًا، أي $(0)$ أو $dA$ . ففي حالة $(0)$ : يكون $M \subseteq A^{n-1} \times \{0\}$ وينطبق التراجع. وإلا فلنختر $x_0 \in M$ يحقق $\pi(x_0) = d$ . عندئذٍ يُكتب كل $x \in M$ بطريقة وحيدة

x = \underbrace{\frac{\pi(x)}{d}}_{\in A}\, x_0 + \Bigl(x - \tfrac{\pi(x)}d x_0\Bigr), \qquad x - \tfrac{\pi(x)}d x_0 \in M \cap \ker\pi

(لأن $\pi(x) \in dA$ ، ومنه فالمعامل في $A$ ). ومنه $M = Ax_0 \oplus (M \cap \ker \pi)$ : والمجموع مباشر لأن $\pi(ax_0) = ad = 0$ يفرض $a = 0$ . وبالتراجع يكون $M \cap \ker\pi \subseteq \ker \pi \cong A^{n-1}$ حرًّا ورتبته $\leq n - 1$ ؛ وبإضافة $x_0$ (المستقل عن $\ker\pi$ كما رأينا للتوّ) نحصل على أساس للمقاس $M$ عدد عناصره $\leq n$ . ∎

ملاحظة 3.6

ومن نتائج ذلك أن لكل مقاس $M$ مولَّد بعدد منتهٍ على حلقة مثاليات رئيسية تقديمًا منتهيًا: فلتطبيق شامل $\varphi\colon A^n \to M$ نواةٌ حرة أساسها $c_1, \dots, c_k$ (حيث $k \leq n$ )، ويكون $M \cong A^n / \operatorname{im}(C)$ حيث $C \in M_{n,k}(A)$ هي المصفوفة التي أعمدتها العناصر $c_j$ . ففهم $M$ يعني فهم مصفوفة على $A$ إلى حدود تغيير الأسس في المنطلق والمستقر — وهو موضوع القسم التالي.

3.2 صيغة سميث الناظمية

تعريف 3.7

نقول عن مصفوفتين $B, C \in M_{n,k}(A)$ إنهما متكافئتان إذا كان $C = QBP$ حيث $Q \in GL_n(A)$ و $P \in GL_k(A)$ (أي قابلتان للقلب على $A$ : بمحدد في $A^\times$ ). ومصفوفتا تقديم متكافئتان تعرّفان مقاسين متماثلين $A^n/ \operatorname{im}$ (بتغيير الأسس في $A^n$ و $A^k$ ).

مبرهنة 3.8 (صيغة سميث الناظمية)

لتكن $A$ حلقة مثاليات رئيسية ولتكن $B \in M_{n,k}(A)$ . عندئذٍ تكافئ $B$ مصفوفة قطرية

\operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_r, 0, \dots, 0), \qquad d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r \neq 0 ,

وتكون العناصر $d_i$ وحيدة إلى حدود التصاحب: إذ إن $d_1 \cdots d_i$ قاسم مشترك أكبر لمحدّدات $B$ الجزئية من القياس $i \times i$ (وعلى وجه الخصوص فإن هذا القاسم صامد بالتكافؤ). وتُسمّى العناصر $d_i$ العوامل الصامدة للمصفوفة $B$ .

برهان. الوجود. إذا كان $B = 0$ فقد انتهينا. وإلا فلننظر في مجموعة المثاليات $(b)$ المولَّدة بعناصر مصفوفات تكافئ $B$ ؛ وبما أن $A$ نويثرية، فلنختر مصفوفة $B'$ تكافئ $B$ وعنصرًا $d$ فيها بحيث يكون $(d)$ أعظميًا في هذه المجموعة. وننقل $d$ إلى الموضع $(1,1)$ بتبديل الأسطر والأعمدة.

الادعاء: يقسم $d$ كل عناصر $B'$ . أولًا العمود 1: إذا لم يكن $b_{i1}$ مضاعفًا للعنصر $d$ ، فليكن $e = \gcd(d, b_{i1}) = ud + vb_{i1}$ (بيزو)، ومنه $(e) \supsetneq (d)$ . وحيلة المصفوفة من القياس $2 \times 2$ : بالفعل على السطرين $1$ و $i$ بواسطة

\begin{pmatrix} u & v \\ -\dfrac{b_{i1}}e & \dfrac de \end{pmatrix} \in GL_2(A) \qquad \Bigl(\det = \tfrac{ud + v b_{i1}}e = 1\Bigr)

نحصل على مصفوفة مكافئة عنصرها في الموضع $(1,1)$ هو $e$ : وهذا يناقض أعظمية $(d)$ . إذن يقسم $d$ العمودَ $1$ ، وبالتناظر السطرَ $1$ . وبطرح مضاعفات السطر 1 والعمود 1 نُصفّرهما: فتكافئ $B'$ المصفوفة $\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 & B''\end{pmatrix}$ . وبعد ذلك، يقسم $d$ كل عنصر $b$ من $B''$ : نضيف سطر $b$ إلى السطر 1 (وهي عملية أوّلية؛ فيحتوي السطر الأول الجديد على $d$ وعلى عناصر $b$ )، ونكرّر حجّة تصفير العمود: إذ إن عنصرًا غير مضاعف سيحسّن $(d)$ مرة أخرى. والآن نتراجع على القياس: فللمصفوفة $B''$ ، التي تقبل جميع عناصرها القسمة على $d$ ، صيغةُ سميث $\operatorname{diag}(d_2, \dots)$ تبقى عناصرها قابلة للقسمة على $d$ (لأن كل عنصر من أي $QB''P$ تركيبةٌ على $A$ لعناصر $B''$ )؛ ونضع $d_1 = d$ .

الوحدانية. ليرمز $D_i(B)$ إلى قاسم مشترك أكبر لجميع المحدّدات الجزئية من القياس $i \times i$ . لا يمكن للعمليات على الأسطر والأعمدة، ولا بصورة أعمّ للضرب في أي مصفوفة، أن تصغّر هذا القاسم: فالمحدّدات الجزئية من القياس $i \times i$ للمصفوفة $QB$ تركيباتٌ على $A$ لمثيلاتها في $B$ (بنشر كوشي–بينيه؛ أو مباشرةً: كل سطر من $QB$ تركيبة لأسطر $B$ ، والمحدّدات الجزئية متعددة الخطية في الأسطر). ومنه فإن $D_i(QBP)$ و $D_i(B)$ يقسم كل منهما الآخر: أي إن $D_i$ صامد بالتكافؤ. وعلى الصيغة القطرية، تكون المحدّدات الجزئية غير المعدومة من القياس $i \times i$ هي جداءات $i$ من العناصر $d_j$ ، وتجعل القابليةُ للقسمة $d_1 \mid \dots \mid d_r$ المقدارَ $d_1 \cdots d_i$ هو القاسم المشترك الأكبر. ومنه $d_1 \cdots d_i = D_i(B)$ إلى حدود العناصر القابلة للقلب، ويتحدّد $d_i = D_i/D_{i-1}$ . ∎

طريقة 3.9

على حلقة إقليدية ( $\Z$ ، $K[X]$ )، يكون اختزال سميث خوارزمية — دون حاجة إلى حجّة الأعظمية: ننقل العنصر ذا القياس الإقليدي الأصغر إلى الموضع $(1,1)$ ؛ فإذا أخفق في قسمة عنصر ما من سطره أو عموده، تركت قسمةٌ إقليدية باقيًا أصغر تمامًا هناك — نبدّله إلى الموضع ونعيد الكرّة (والانتهاء مضمون: لأن الأقياس تتناقص)؛ وحين يقسم سطره وعموده بأكملهما، نُصفّرهما؛ وإذا أخفق في قسمة عنصر داخلي، أضفنا ذلك السطر إلى السطر $1$ وأعدنا الكرّة؛ ثم نتراجع على الكتلة الداخلية. وعمليًا على المصفوفات الصحيحة: نحسب $D_1 = \gcd$ لعناصرها، ثم $D_2$ ، … بالمحدّدات الجزئية من أجل الأقياس الصغيرة، أو نشغّل الخوارزمية.

مثال 3.10 (اختزال سميث كاملًا)

لنختزل $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ على $\Z$ . الركن $1$ يقسم كل شيء: فنُصفّر سطره وعموده ( $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1$ ، $L_3 \leftarrow L_3 - 7L_1$ ، ثم $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ ، $C_3 \leftarrow C_3 - 3C_1$ ):

M \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} .

وفي الكتلة الداخلية، يقسم الركن $-3$ جميع العناصر: فيصفّرها $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ و $C_3 \leftarrow C_3 - 2C_2$ لتصير $\operatorname{diag}(-3, 0)$ . وبضبط الإشارات (بضرب سطر في $-1$ ، وهي عملية مشروعة):

M \sim \operatorname{diag}(1, 3, 0), \qquad \Z^3/M\Z^3 \cong \Z/3\Z \times \Z .

ولنتحقق بواسطة القواسم المحدّدية: $D_1 = \gcd(\text{العناصر}) = 1$ ؛ وكل محدد جزئي من القياس $2\times2$ للمصفوفة $M$ مضاعفٌ للعدد $3$ (مثلًا $\det\bigl(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\end{smallmatrix}\bigr) = -3$ ) وأحدها يساوي $-3$ : ومنه $D_2 = 3$ ؛ و $D_3 = \det M = 0$ . إذن $d_1 = 1$ و $d_2 = 3$ و $d_3 = 0$ : أي الجواب نفسه. وهنا درسان: العامل الصامد المعدوم يسجّل هبوط الرتبة (إذ يكتسب حاصل القسمة حدًّا حرًّا من $\Z$ )، وسلسلة القابلية للقسمة $1 \mid 3 \mid 0$ هي شهادة سميث — فاختزالٌ قطري يخالف السلسلة (مثل $\operatorname{diag}(2, 3)$ ، وهو ما قد يُنتجه غير المتأني من $\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ بالتوقف مبكرًا: والصيغة الصحيحة لسميث هي $\operatorname{diag}(1, 6)$ ، لأن $D_1 = 1$ هنا!) ليس اختزالًا منتهيًا.

الشبكة الجزئية L = ℤ(2,0) + ℤ(1,3) من ℤ2 (النقط الحمراء). وصيغة سميث الناظمية للمصفوفة ( smallmatrix 2 & 1\\ 0 & 3 smallmatrix ) هي diag(1, 6): ففي الأساس الملائم f_1 = (1,3) و f_2 = (0,1) من ℤ2، لدينا L = ℤ f_1 ℤ\,6f_2، ومنه ℤ2/L ℤ/6ℤ — فالدليل يساوي | | = 6، وهو مساحة المجال الأساسي المظلَّل. — الشبكة الجزئية $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ من $\Z^2$ (النقط الحمراء). وصيغة سميث الناظمية للمصفوفة $\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ هي $\operatorname{diag}(1, 6)$ : ففي الأساس الملائم $f_1 = (1,3)$ و $f_2 = (0,1)$ من $\Z^2$ ، لدينا $L = \Z f_1 \oplus \Z\,6f_2$ ، ومنه $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ — فالدليل يساوي $\abs{\det} = 6$ ، وهو مساحة المجال الأساسي المظلَّل.

3.3 مبرهنة البنية

تعريف 3.11

لتكن $A$ حلقة تامة وليكن $M$ مقاسًا على $A$ . المقاس الجزئي الالتوائي هو

T(M) = \{x \in M : ax = 0 \text{ من أجل } a \neq 0\}

(وهو مقاس جزئي: إذ إن $ax = by = 0$ يعطي $ab(x + y) = 0$ مع $ab \ne 0$ ). ويكون $M$ عديم الالتواء إذا كان $T(M) = 0$ ، ومقاسًا التوائيًا إذا كان $T(M) = M$ .

مبرهنة 3.12 (بنية المقاسات المولَّدة بعدد منتهٍ على حلقة مثاليات رئيسية)

لتكن $A$ حلقة مثاليات رئيسية وليكن $M$ مقاسًا على $A$ مولَّدًا بعدد منتهٍ من العناصر. يوجد عدد وحيد $r \in \N$ وعناصر غير معدومة وغير قابلة للقلب $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ ، وحيدة إلى حدود التصاحب، بحيث

M \;\cong\; A^r \,\oplus\, A/(d_1) \oplus \cdots \oplus A/(d_s).

وعلاوة على ذلك $T(M) \cong A/(d_1)\oplus\dots\oplus A/(d_s)$ و $M/T(M) \cong A^r$ : فكل مقاس عديم الالتواء مولَّد بعدد منتهٍ على حلقة مثاليات رئيسية هو مقاس حر.

برهان. الوجود. نقدّم $M \cong A^n/\operatorname{im}(C)$ (الملاحظة 3.6) ونضع $C$ في صيغة سميث: فبعد تغييرَي الأساس نجد $M \cong A^n / (d_1A \times \dots \times d_rA \times 0 \times \dots \times 0) \cong A/(d_1) \oplus \dots \oplus A/(d_r) \oplus A^{\,n - r}$ . ونحذف العوامل التي يكون فيها $d_i$ قابلًا للقلب (لأن $A/(d_i) = 0$ )؛ وتبقى سلسلة القابلية للقسمة قائمة.

تعيين الالتواء. في هذا التفكيك، يكون $A^r$ عديم الالتواء (لأنه ليس في حلقة تامة قواسم للصفر) ويكون كل $A/(d_i)$ التوائيًا (لأن $d_i \ne 0$ يبيده)؛ ويشطر المجموع المباشر الالتواءَ تبعًا لذلك: أي $T(M) = \bigoplus_i A/(d_i)$ و $M/T(M) \cong A^r$ .

وحدانية $r$ : إن $M/T(M) \cong A^r$ يتعلق بالمقاس $M$ وحده، وتحدّد القضية 3.4 العددَ $r$ .

وحدانية العناصر $d_i$ : يكفي أن نعالج المقاس الالتوائي $T = T(M)$ . نفكّك كل $d_i$ إلى عناصر أولية ونشطر بمبرهنة الباقي الصيني (المبرهنة 2.9؛ إذ إن العناصر الأولية المتمايزة تولّد مثاليات متكاملة):

A/(d) \cong \bigoplus_{p \mid d} A/\bigl(p^{v_p(d)}\bigr): \qquad T \cong \bigoplus_{p} \bigoplus_{j} A/\bigl(p^{k_{p,j}}\bigr),

وتُسمّى العناصر $p^{k_{p,j}}$ القواسم الأوّلية. وبالعكس، تُستعاد العناصر $d_i$ من المجموعة المتعدّدة للقواسم الأوّلية (إذ إن $d_s$ = جداء أعلى قوة لكل عنصر أولي، وهكذا)، ومنه يكفي أن نبرهن على أن المجموعة المتعدّدة $\{k_{p,j}\}_j$ يحدّدها $T$ ، من أجل كل عنصر أولي $p$ . لنثبّت $p$ ؛ ومن أجل $j \geq 1$ لننظر في الفضاءات المتجهية على $A/(p)$ المعطاة بالحواصل $p^{j-1}T/p^jT$ . فعلى عامل دائري $A/(p^k)$ :

p^{j-1}\bigl(A/(p^k)\bigr)\big/p^{j}\bigl(A/(p^k)\bigr) \cong \begin{cases} A/(p) & \text{إذا كان } j \leq k,\\ 0 & \text{إذا كان } j > k, \end{cases}

وعلى عامل $A/(q^k)$ حيث $q \neq p$ : يكون الضرب في $p$ تقابليًا هناك ( $p$ قابل للقلب بترديد $q^k$ : بيزو)، ومنه فحاصل القسمة $0$ . وتمرّ المجاميع المباشرة: $\dim_{A/(p)} p^{j-1}T/p^jT = \#\{i : k_{p,i} \geq j\}$ . وتحدّد هذه الأبعاد الذاتية المجموعةَ المتعدّدة للأُسس. ∎

نتيجة 3.13 (الزمر الأبيلية المولَّدة بعدد منتهٍ)

كل زمرة أبيلية مولَّدة بعدد منتهٍ من الشكل $\Z^r \times \Z/d_1\Z\times\dots\times\Z/d_s\Z$ مع $d_1 \mid \dots \mid d_s$ ، بطريقة وحيدة. وكل زمرة أبيلية منتهية جداءُ زمر دائرية رتبتها قوة لعدد أولي، وحيدةٌ بوصفها مجموعة متعدّدة.

مثال 3.14

توافق الزمر الأبيلية ذات الرتبة $p^n$ تجزئات العدد $n$ : فمن أجل $p^4$ لدينا $\Z/p^4$ و $\Z/p^3\times\Z/p$ و $(\Z/p^2)^2$ و $\Z/p^2 \times (\Z/p)^2$ و $(\Z/p)^4$ — أي خمس زمر، لأن للعدد $4$ خمس تجزئات. وتضاعف الرتب المختلطة الأعدادَ عددًا أوليًا عددًا أوليًا (بمبرهنة الباقي الصيني): فتوجد $5 \times 2$ زمرة أبيلية رتبتها $2^4 \cdot 3^2 = 144$ .

3.4 تطبيق: الصيغ الناظمية للتشاكلات الذاتية

ليكن $K$ حقلًا، وليكن $V$ فضاءً متجهيًا على $K$ بُعده المنتهي $n$ ، وليكن $u \in \mathcal L(V)$ ؛ نجعل $V$ مقاسًا على $K[X]$ بواسطة $P \cdot x = P(u)(x)$ (المثال 3.2). وهذا المقاس مولَّد بعدد منتهٍ من العناصر (لأن أساسًا على $K$ يولّده) والتوائي: إذ إن المتجهات $n+1$ التالية $x, u(x), \dots, u^n(x)$ مرتبطة على $K$ من أجل كل $x$ ، فتعطي كثير حدود مُبيدًا غير معدوم.

تعريف 3.15

من أجل $P = X^m + a_{m-1}X^{m-1} + \dots + a_0$ واحديًا، تكون المصفوفة المرافقة هي

C_P = \begin{pmatrix} 0 & & & -a_0\\ 1 & \ddots & & -a_1\\ & \ddots & 0 & \vdots\\ & & 1 & -a_{m-1} \end{pmatrix} :

وهي مصفوفة «الضرب في $X$ » على $K[X]/(P)$ في الأساس $1, \bar X, \dots, \bar X^{m-1}$ .

مبرهنة 3.16 (فروبينيوس: الصيغة الناظمية الناطقة)

توجد متتالية وحيدة من كثيرات الحدود الواحدية غير الثابتة $P_1 \mid P_2 \mid \dots \mid P_s$ (وتُسمّى صوامد التشابه للتشاكل $u$ ) بحيث يكون، بوصفهما مقاسين على $K[X]$ ،

V \cong K[X]/(P_1) \oplus \cdots \oplus K[X]/(P_s):

وفي أساس ملائم، يكون للتشاكل $u$ مصفوفةٌ قطرية بالكتل $\operatorname{diag}(C_{P_1}, \dots, C_{P_s})$ . وعلاوة على ذلك:

$P_s = \mu_u$ (كثير الحدود الأدنى) و $P_1\cdots P_s = \chi_u$ (كثير الحدود المميّز)؛ وعلى وجه الخصوص $\mu_u \mid \chi_u$ (وهي مبرهنة كايلي–هاملتون مُبرهَنًا عليها من جديد) و $\chi_u \mid \mu_u^{\,s}$ ، ومنه فإن للمقدارين $\chi_u$ و $\mu_u$ العواملَ نفسها غير القابلة للاختزال.
يكون تشاكلان ذاتيان (أو مصفوفتان مربعتان) متشابهين إذا وفقط إذا كان لهما صوامد التشابه نفسها.

برهان. نطبّق مبرهنة البنية (المبرهنة 3.12) على حلقة المثاليات الرئيسية $K[X]$ : فيتفكّك المقاس الالتوائي $V$ بعوامل صامدة $P_i$ ، منظَّمة واحدية (لأن العناصر القابلة للقلب في $K[X]$ هي $K^\times$ )؛ ولا يظهر جزء حر (لأن $V$ التوائي). وعلى كل عامل دائري $K[X]/(P_i)$ ، يكون للضرب في $X$ المصفوفةُ $C_{P_i}$ في أساس قوى $\bar X$ : وبضم الأسس نحصل على الصيغة بالكتل.

(1) مُبيد $V = \bigoplus K[X]/(P_i)$ هو $(P_1)\cap \dots\cap(P_s) = (P_s)$ (بسلسلة القابلية للقسمة: فإن $P_s$ مضاعف مشترك، ويُبيد صنفَ $1$ في العامل الأخير بالضبط المثاليُّ $(P_s)$ ): إذن $\mu_u = P_s$ . أما من أجل $\chi_u$ : فعلى عامل دائري لدينا $\chi_{C_P} = P$ ، بالتراجع على $m = \deg P$ . وبنشر $\det(XI_m - C_P)$ على السطر الأول (وعناصره $X$ ، ثم أصفار، ثم $a_0$ في العمود الأخير):

\det(XI_m - C_P) = X\,\det\bigl(XI_{m-1} - C_{\tilde P}\bigr) + (-1)^{1+m}\,a_0\,\det L ,

حيث $\tilde P = X^{m-1} + a_{m-1}X^{m-2} + \dots + a_1$ (بالشكل نفسه، وبقياس أصغر بواحد) و $L$ مثلثية قطرها $(-1, \dots, -1)$ ، ومنه $\det L = (-1)^{m-1}$ . وبالتراجع يكون الحد الأول $X\tilde P$ ، والثاني $a_0$ : فالمجموع $X\tilde P + a_0 = P$ (وحالة الأساس $m=1$ : $\det(X + a_0) = P$ ). وتتضارب المحدّدات على الكتل: $\chi_u = \prod P_i$ . وأما كايلي–هاملتون: لدينا $\chi_u \in (\mu_u)$ لأن $P_s \mid$ كلَّ واحد منها… وبالعكس، لدينا $P_i \mid P_s$ من أجل كل $i$ ، ومنه فإن $\chi_u = \prod P_i$ يقسم $P_s^{\,s} = \mu_u^s$ ؛ ويقسم $\mu_u = P_s$ العنصرَ $\chi_u$ لأنه أحد عوامله.

(2) التشاكلان الذاتيان المتشابهان هما بنيتا مقاس مقترنتان، ومنه فلهما الصوامد نفسها (بالوحدانية في المبرهنة 3.12)؛ وبالعكس، تعطي الصوامد المتساوية مقاسين متماثلين على $K[X]$ ، وتماثل المقاسات هو بالضبط تقابل خطي يتبادل مع التشاكلين الذاتيين: أي تشابه. ∎

نتيجة 3.17 (التشابه لا يتأثر بامتداد الحقل)

ليكن $K \subseteq L$ حقلين وليكن $M, N \in M_n(K)$ . إذا كانت $M$ و $N$ متشابهتين على $L$ ، فهما متشابهتان على $K$ .

برهان. تُحسب صوامد التشابه للمصفوفة $M$ بصيغة سميث للمحدّدات الجزئية (المبرهنة 3.8) مطبَّقةً على مصفوفة التقديم $XI_n - M$ على $K[X]$ — وبالفعل، فللمقاس $V_M = K^n$ على $K[X]$ التقديمُ $XI_n - M$ : إذ إن التطبيق $K[X]^n \to V_M$ المعطى بالعلاقة $(Q_i) \mapsto \sum Q_i(M)e_i$ شاملٌ ونواته مولَّدة بأعمدة $XI_n - M$ (بتحقّق مباشر: فبترديد تلك الأعمدة، يختزل كل عنصر من $K[X]^n$ إلى متجهة ثابتة، والمتجهات الثابتة تُرسَل تقابليًا؛ وتفصّل مسألة نهاية الأسبوع ذلك). والقواسم المشتركة الكبرى لكثيرات الحدود لا تتغير بامتداد الحقل: فإذا كان $d$ القاسم المشترك الأكبر الواحدي في $K[X]$ لعائلة $(f_j)$ ، أعطت متطابقة بيزو $d = \sum u_jf_j$ حيث $u_j \in K[X]$ ، ومنه فإن كل قاسم مشترك للعناصر $f_j$ في $L[X]$ يقسم $d$ ؛ وبما أن $d$ نفسه قاسم مشترك، فهو القاسم المشترك الأكبر في $L[X]$ أيضًا. ومنه فإن العوامل الصامدة للمصفوفة $XI_n - M$ ، وهي خوارج القواسم المشتركة الكبرى المتتالية للمحدّدات الجزئية، هي نفسها على $K$ وعلى $L$ : أي إن للمصفوفتين $M$ و $N$ صوامد التشابه نفسها على $L$ إذا وفقط إذا كان ذلك على $K$ ؛ ونخلص من المبرهنة 3.16(2). ∎

مبرهنة 3.18 (صيغة جوردان، مستنبطةً من جديد)

لنفترض أن $\chi_u$ ينشطر على $K$ (مثلًا $K = \C$ ). بتطبيق تفكيك القواسم الأوّلية على $V$ (كما في برهان المبرهنة 3.12) بدل العوامل الصامدة:

V \cong \bigoplus_{\lambda, j} K[X]\big/\bigl((X - \lambda)^{k_{\lambda,j}}\bigr),

وفي الأساس $\bigl(\overline{(X-\lambda)^{k-1}}, \dots, \overline{(X - \lambda)}, \bar 1\bigr)$ لكل عامل، يفعل $u$ بوصفه كتلة جوردان $J_k(\lambda)$ : أي إن لكل تشاكل ذاتي ينشطر كثيرُ حدوده المميّز أساسَ جوردان، وتكون المجموعة المتعدّدة للكتل $(\lambda, k)$ وحيدة.

برهان. القواسم الأوّلية للمقاس الالتوائي $V$ هي العناصر $(X - \lambda)^k$ حيث يمسح $X - \lambda$ العواملَ غير القابلة للاختزال للمقدار $\mu_u$ (وهو ينشطر، لأن $\chi_u$ ينشطر ولأن لهما العوامل نفسها غير القابلة للاختزال، المبرهنة 3.16). وفي $W = K[X]/((X-\lambda)^k)$ ، نضع $f_j = \overline{(X - \lambda)^{k-j}}$ من أجل $j = 1, \dots, k$ : عندئذٍ $(X - \lambda)f_j = f_{j-1}$ (مع $f_0 = 0$ )، أي $u(f_j) = \lambda f_j + f_{j-1}$ : ومنه فإن مصفوفة $u$ على $(f_1, \dots, f_k)$ هي بالضبط $J_k(\lambda)$ (بآحاد فوق القطر). ووحدانية المجموعة المتعدّدة للقواسم الأوّلية هي المبرهنة 3.12. ∎

ملاحظة 3.19

صار تدرّج الصيغ الناظمية شفافًا الآن: فالصيغة الناطقة موجودة على كل حقل وتكشف التشابه كشفًا مطلقًا (النتيجة 3.17)؛ والصيغة الجوردانية تنقيحٌ لها حين ينشطر $\chi_u$ . وقد انطوت براهين مبرهنة جوردان القائمة على إحصاء الأبعاد في السنة الجامعية 2 تحت هذا الإطار: فكل تلك التوافيق لم تكن سوى حسابٍ في حلقة المثاليات الرئيسية $K[X]$ .

3.5 تمارين

تمرين 3.1 ★

(a) برهن على أن $\Q$ ليس مولَّدًا بعدد منتهٍ من العناصر بوصفه مقاسًا على $\Z$ . (b) برهن على أن $\Q$ عديم الالتواء لكنه ليس حرًّا. (c) ولماذا لا تناقض أيٌّ من العبارتين المبرهنة 3.12؟

حل

حل التمرين 3.1.

(a) إذا كان $\Q = \Z q_1 + \dots + \Z q_k$ ، فليكن $d$ مقامًا مشتركًا للأعداد $q_i$ : عندئذٍ تقع كل تركيبة في $\frac1d\Z$ ، لكن $\frac1{2d} \notin \frac1d\Z$ . وهو تناقض.

(b) عديم الالتواء: إذ يفرض $nq = 0$ مع $n \neq 0$ أن $q = 0$ في $\Q$ . وليس حرًّا: إذ يحقق أي عددين ناطقين غير معدومين $\frac ab, \frac cd$ العلاقةَ غير التافهة $(bc)\frac ab - (ad)\frac cd = 0$ ، ومنه فإن أي أساس يضم عنصرًا واحدًا على الأكثر؛ ولو كان $\Q \cong \Z$ لصار $\Q = \Z q$ دائريًا، لكن $\frac q2 \notin \Z q$ . (و $\Q \neq 0$ .)

(c) تفترض المبرهنة 3.12 التوليد المنتهي، وهو ما ينفيه (a): فلا تناقض — بل إن $\Q$ يبيّن أن الفرضية لازمة في العبارة «عديم الالتواء $\Rightarrow$ حر».

تمرين 3.2 ★

اسرد الزمر الأبيلية ذات الرتبة $360$ إلى حدود التماثل، بصيغتَي القواسم الأوّلية والعوامل الصامدة معًا. وكم زمرة أبيلية رتبتها $p^5$ ؟

حل

حل التمرين 3.2.

لدينا $360 = 2^3\cdot3^2\cdot5$ . والتجزئات: للعدد $3$ : $(3), (2,1), (1,1,1)$ ؛ وللعدد $2$ : $(2), (1,1)$ ؛ وللعدد $1$ : $(1)$ . ومنه $3 \times 2 \times 1 = 6$ زمرة. ومن القواسم الأوّلية $\to$ العوامل الصامدة:

$\Z/8 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/360$
$\Z/8 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/3 \times \Z/120$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/180$
$\Z/4 \times \Z/2 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/6 \times \Z/60$
$(\Z/2)^3 \times \Z/9 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/2 \times \Z/90$
$(\Z/2)^3 \times \Z/3 \times \Z/3 \times \Z/5$	$\Z/2 \times \Z/6 \times \Z/30$

(وللانتقال إلى العوامل الصامدة: يجمع العامل الأكبر $d_s$ أعلى قوة لكل عدد أولي، وهكذا نزولًا.) وأما ذات الرتبة $p^5$ : فعددها عدد تجزئات $5$ ، أي $7$ .

تمرين 3.3 ★

احسب صيغة سميث الناظمية على $\Z$ للمصفوفتين

B = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix},

وعيّن الزمرتين الأبيليتين $\Z^2/B\Z^2$ و $\Z^3/C\Z^3$ .

حل

حل التمرين 3.3.

المصفوفة $B$ : $D_1 = \gcd(2,4,6,8) = 2$ ؛ $D_2 = \abs{\det B} = \abs{16 - 24} = 8$ . والعوامل الصامدة $d_1 = 2$ و $d_2 = 8/2 = 4$ : فصيغة سميث $\operatorname{diag}(2, 4)$ ، و $\Z^2/B\Z^2 \cong \Z/2\Z \times \Z/4\Z$ .

المصفوفة $C$ : قطرية لكنها ليست صيغة سميث (لأن $2 \nmid 3$ ). لدينا $D_1 = \gcd(2,3,12) = 1$ ؛ $D_2 = \gcd(2\cdot3,\, 2\cdot12,\, 3\cdot12) = \gcd(6, 24, 36) = 6$ ؛ $D_3 = 72$ . ومنه $d = (1, 6, 12)$ و $\Z^3/C\Z^3 \cong \Z/6\Z\times\Z/12\Z$ — وهذا متسق مع مبرهنة الباقي الصيني: $\Z/2\times\Z/3\times\Z/12 \cong \Z/6\times\Z/12$ .

تمرين 3.4 ★★

لتكن $L \subseteq \Z^n$ زمرة جزئية رتبتها $n$ أساسُها أعمدة المصفوفة $B \in M_n(\Z)$ مع $\det B \neq 0$ . برهن على أن $\Z^n/L$ منتهية وعدد عناصرها $\abs{\det B}$ ، وأن $\Z^n/L \cong \prod_i \Z/d_i\Z$ حيث $d_i$ هي العوامل الصامدة للمصفوفة $B$ . وأعطِ مثالًا توضيحيًا بالمصفوفة $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ .

حل

حل التمرين 3.4.

نكتب $B = Q\,\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)\,P$ حيث $Q, P \in GL_n(\Z)$ (المبرهنة 3.8؛ ولا يوجد $d_i$ معدوم لأن $\det B \neq 0$ ). عندئذٍ $\Z^n/B\Z^n \cong \Z^n/ \operatorname{diag}(d)\Z^n = \prod_i \Z/d_i\Z$ (إذ يرسل التماثل المركّب $x \mapsto Q^{-1}x$ للزمرة $\Z^n$ المجموعةَ $B\Z^n$ على $\operatorname{diag}(d)P\Z^n = \operatorname{diag}(d)\Z^n$ ). وعدد عناصره $\prod \abs{d_i} = \abs{\det \operatorname{diag}(d)} = \abs{\det B}$ ، لأن $\det Q, \det P = \pm 1$ . ومن أجل $L = \Z(2,0) + \Z(1,3)$ : $B = \bigl(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr)$ ، $D_1 = 1$ ، $D_2 = 6$ : ومنه $\Z^2/L \cong \Z/6\Z$ ، وعدد عناصره $\abs{\det B} = 6$ .

تمرين 3.5 ★★

لتكن $A$ حلقة تامة. (a) تحقق من أن $T(M)$ مقاس جزئي وأن $M/T(M)$ عديم الالتواء. (b) برهن على أن المثالي $(X, Y)$ في $K[X,Y]$ ، بوصفه مقاسًا على $K[X,Y]$ ، عديم الالتواء لكنه ليس حرًّا: فمبرهنة البنية تحتاج فعلًا إلى فرضية المثاليات الرئيسية.

حل

حل التمرين 3.5.

(a) مقاس جزئي: وقد تم ذلك في التعريف 3.11. وإذا كان $a(x + T(M)) = 0$ في $M/T(M)$ مع $a \neq 0$ ، فإن $ax \in T(M)$ : أي $bax = 0$ من أجل $b \neq 0$ ما، ويكون $ba \neq 0$ (لأن الحلقة تامة)، ومنه $x \in T(M)$ : أي إن الصنف معدوم. إذن $M/T(M)$ عديم الالتواء.

(b) المقاس $(X, Y) \subseteq K[X,Y]$ عديم الالتواء (لأنه مقاس جزئي من الحلقة التامة $K[X,Y]$ الفاعلة على نفسها). ولو كان حرًّا: فإن أي عنصرين $P, Q$ يحققان $Q\cdot P - P \cdot Q = 0$ ، وهي علاقة غير تافهة حين يكون $P \ne Q$ غير معدومين، ومنه فإن أي أساس يضم عنصرًا واحدًا: أي $(X, Y) = (P)$ رئيسي — وهذا يناقض التمرين 2.6(a). فهو إذن عديم الالتواء ومولَّد بعدد منتهٍ (لأن $X, Y$ يولّدانه)، ومع ذلك ليس حرًّا: فعلى الحلقة $K[X,Y]$ التي ليست حلقة مثاليات رئيسية، تخفق مبرهنة البنية.

تمرين 3.6 ★★

(a) برهن على أنه ليس للمقاس $2\Z$ متمّم مباشر في المقاس $\Z$ على $\Z$ : فالمقاسات الجزئية من مقاس حر حرةٌ (المبرهنة 3.5)، لكنها ليست بالضرورة حدودًا مباشرة. (b) برهن على أنه إذا حقّق $M \subseteq A^n$ (حيث $A$ حلقة مثاليات رئيسية) الشرطَ: $A^n/M$ عديم الالتواء، فإن $M$ يكون حدًّا مباشرًا.

حل

حل التمرين 3.6.

(a) إذا كان $\Z = 2\Z \oplus C$ ، فإن الإسقاط $\Z \to \Z/2\Z$ يُقصَر إلى تماثل $C \cong \Z/2\Z$ : أي إن $C$ ستكون زمرة جزئية من $\Z$ يحقق عنصرها غير المعدوم $x$ العلاقةَ $2x \in C \cap 2\Z = 0$ . لكن $\Z$ عديم الالتواء: إذن $C = 0$ ، وهذا يفرض $\Z = 2\Z$ — وهو خطأ.

(b) المقاس $A^n/M$ مولَّد بعدد منتهٍ وعديم الالتواء، ومنه فهو حر (المبرهنة 3.12): أي $A^n/M \cong A^r$ بأساس $f_1, \dots, f_r$ . نختار سوابق $y_i \in A^n$ للعناصر $f_i$ ونضع $F = Ay_1 + \dots + Ay_r$ . ولكل $x \in A^n$ لدينا $\pi(x) = \sum a_if_i$ ، ومنه $x - \sum a_iy_i \in M$ : أي $A^n = M + F$ . وإذا كان $\sum a_iy_i \in M$ ، فإن تطبيق $\pi$ يعطي $\sum a_if_i = 0$ ، ومنه فإن جميع المعاملات $a_i = 0$ (لأن العائلة أساس): أي $M \cap F = 0$ . إذن $A^n = M \oplus F$ .

تمرين 3.7 ★★

حل في $\Z^2$ الجملة

\begin{cases} 2x + 4y \equiv b_1 \pmod{20},\\ 6x + 8y \equiv b_2 \pmod{20}, \end{cases}

وعيّن الأزواج $(b_1, b_2)$ التي توجد لها حلول، باستعمال صيغة سميث في التمرين 3.3 (بتغييرات متغيرات قابلة للقلب في الطرفين).

حل

حل التمرين 3.7.

كان اختزال التمرين 3.3 فعّالًا: إذ

L = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1\end{pmatrix}, \qquad R = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad LBR = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}

(بالعملية على الأسطر $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ ، والعمليتين على الأعمدة $C_2 \leftarrow C_2 - 2C_1$ ثم $C_2 \leftarrow -C_2$ ). وبوضع $y = R^{-1}x$ (وهو تقابل للمجموعة $(\Z/20\Z)^2$ ، لأن $R$ قابلة للقلب على $\Z$ )، تكافئ الجملة $Bx \equiv b \pmod{20}$ الجملةَ

2y_1 \equiv b_1, \qquad 4y_2 \equiv -3b_1 + b_2 \pmod{20}.

وتكون المطابقة $ky \equiv c \pmod{20}$ قابلة للحل إذا وفقط إذا كان $\gcd(k, 20) \mid c$ : فالحلول موجودة إذا وفقط إذا كان $2 \mid b_1$ و $4 \mid b_2 - 3b_1$ ، أي $b_1$ زوجي و $b_2 \equiv 3b_1 \pmod 4$ . وحين تكون قابلة للحل يكون عدد الحلول $2 \times 4 = 8$ بترديد $20$ .

تمرين 3.8 ★★

(a) عيّن جميع صوامد التشابه وصيغ جوردان الممكنة لمصفوفة معدومة القوة من القياس $4 \times 4$ ، مرتّبةً حسب تجزئة العدد $4$ التي تحقّقها. (b) أعطِ مصفوفتين عقديتين من القياس $4\times4$ لهما كثيرا الحدود المميّز و الأدنى نفساهما وليستا متشابهتين، وبرهن على أن ذلك لا يمكن أن يحدث من أجل $n \leq 3$ .

حل

حل التمرين 3.8.

(a) التشاكل $u$ المعدوم القوة يحقق $\mu_u = X^k$ ؛ وتكون قواسمه الأوّلية $X^{k_1} \geq \dots$ ، أي كتلة جوردان $J_{k_i}(0)$ واحدة لكل جزء من تجزئة العدد $4$ :

التجزئة	صيغة جوردان	العوامل الصامدة
$(4)$	$J_4$	$X^4$
$(3,1)$	$J_3 \oplus J_1$	$X,\ X^3$
$(2,2)$	$J_2 \oplus J_2$	$X^2,\ X^2$
$(2,1,1)$	$J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$	$X,\ X,\ X^2$
$(1,1,1,1)$	$0$	$X, X, X, X$

(b) نأخذ $u = J_2\oplus J_2$ و $v = J_2 \oplus J_1 \oplus J_1$ : فلكلتيهما $\chi = X^4$ و $\mu = X^2$ ، لكن عواملهما الصامدة مختلفة — ومنه فهما غير متشابهتين (المبرهنة 3.16)؛ ويمكن أيضًا مقارنة الرتبتين: $\operatorname{rk} u = 2 \neq 1 = \operatorname{rk} v$ . أما من أجل $n \leq 3$ : فإن $\chi$ و $\mu$ يحدّدان، من أجل كل قيمة ذاتية $\lambda$ (على حقل انشطار)، القياسَ الكلي $m_\lambda \leq 3$ لكتل $\lambda$ وأكبرَ كتلة $r_\lambda$ ؛ وتتحدّد تجزئة العدد $m \leq 3$ بأكبر أجزائها (فحالة $m = 3$ و $r = 2$ تفرض $(2,1)$ ، وهكذا). ومنه تتطابق القواسم الأوّلية، وتُنزِل النتيجة 3.17 التشابهَ إلى الحقل الأساسي.

تمرين 3.9 ★★★

ليكن $u \in \mathcal L(V)$ مع $\dim V = n$ . برهن على تكافؤ ما يلي: (أ) يكون $V$ مقاسًا دائريًا على $K[X]$ (أي يوجد $x$ يحقق $V = K[u]x$ ، ويُسمّى متجهة دائرية)؛ (ب) $\mu_u = \chi_u$ ؛ (ج) $s = 1$ في المبرهنة 3.16. واستنتج أن لكل مصفوفة مرافقة متجهةً دائرية، وعيّن متى يكون لمصفوفة قطرية متجهةٌ دائرية.

حل

حل التمرين 3.9.

(أ) $\Rightarrow$ (ب): إذا كان $V = K[u]x$ ، فإن $V \cong K[X]/\operatorname{Ann}(x)$ و $\operatorname{Ann}(x) = (\mu_u)$ (لأن كثير حدود يُبيد $x$ إذا وفقط إذا أباد $V = K[u]x$ كلها، بما أن $P(u)Q(u)x = Q(u)P(u)x$ ). ومنه $n = \dim V = \deg \mu_u$ ؛ وبما أن $\mu_u \mid \chi_u$ و $\deg\chi_u = n$ ، تعطي الواحدية $\mu_u = \chi_u$ .

(ب) $\Rightarrow$ (ج): لدينا $\deg\chi_u = \sum_i \deg P_i$ و $\mu_u = P_s$ (المبرهنة 3.16)؛ ويفرض تساوي الدرجتين أن $s = 1$ .

(ج) $\Rightarrow$ (أ): إن $V \cong K[X]/(P_1)$ دائري، ويولّده سابق $\bar 1$ .

والمصفوفة المرافقة هي حالة $V = K[X]/(P)$ نفسها: فالعنصر $x = \bar 1$ ، أي $e_1$ ، دائري. ومن أجل مصفوفة قطرية $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ : لدينا $\chi = \prod (X - \lambda_i)$ و $\mu = \prod_{\lambda \text{ متمايزة}} (X - \lambda)$ ؛ وهما متساويان إذا وفقط إذا كانت العناصر $\lambda_i$ متمايزة مثنى مثنى: أي إن لمصفوفة قطرية متجهةً دائرية إذا وفقط إذا كانت عناصر قطرها متمايزة مثنى مثنى (وعندئذٍ تصلح $x = (1, \dots, 1)$ : بمصفوفة فاندرموند).

تمرين 3.10 ★★★

من أجل $M \in M_n(\Z)$ منظورًا إليها بوصفها تشاكلًا ذاتيًا للمقاس $\Z^n$ ، برهن على صيغة الدليل: إذا كان $\det M \ne 0$ فإن $[\Z^n : M\Z^n] = \abs{\det M}$ ، واستنتج أن $M \in GL_n(\Z)$ إذا وفقط إذا كان $\det M = \pm 1$ . تطبيق: للزمرة $\Z^2$ عدد $\sigma_1(m) = \sum_{d \mid m} d$ من الزمر الجزئية ذات الدليل $m$ بالضبط. (أحصِ المصفوفات في صيغة هيرميت $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ مع $ad = m$ و $0 \leq b < d$ .)

حل

حل التمرين 3.10.

سميث: $M = Q\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)P$ ؛ وتعطي التمرين 3.4 أن $[\Z^n : M\Z^n] = \prod\abs{d_i} = \abs{\det M}$ . وإذا كان $\det M = \pm 1$ : فإن صيغة المصفوفة المرافقة $M^{-1} = (\det M)^{-1}\,{}^{t}\!\operatorname{com}(M)$ ذات عناصر صحيحة، ومنه $M \in GL_n(\Z)$ ؛ وبالعكس، يعطي $MM^{-1} = I$ أن $\det M \cdot \det M^{-1} = 1$ في $\Z$ ، ومنه $\det M = \pm1$ .

الزمر الجزئية ذات الدليل $m$ في $\Z^2$ : لمثل هذه الزمرة $L$ رتبةٌ تساوي $2$ (لأن دليلها منتهٍ) وأساسٌ وحيد في صيغة هيرميت الناظمية $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & d\end{smallmatrix}\bigr)$ : إذ يتميّز $d$ بالخاصية $L \cap (\{0\} \times \Z) = \{0\} \times d\Z$ ، ويتميّز $a$ بالعلاقة $\pi_1(L) = a\Z$ (الإحداثيات الأولى)، ثم يكون $b$ وحيدًا بترديد $d$ ؛ وننظّم $a, d > 0$ و $0 \leq b < d$ . والدليل هو $ad = m$ . وأما الإحصاء: فمن أجل كل قاسم $d \mid m$ (حيث $a = m/d$ ) توجد $d$ اختيارات للعنصر $b$ : فالمجموع $\sum_{d \mid m} d = \sigma_1(m)$ .

تمرين 3.11 ★★

(المعادلات $x^k = e$ في الزمر الأبيلية) لتكن $G$ زمرة أبيلية منتهية عواملها الصامدة $d_1 \mid d_2 \mid \dots \mid d_s$ . (a) برهن على أنه من أجل كل $k \geq 1$ ،

\#\{x \in G : x^k = e\} \;=\; \prod_{i=1}^{s}\gcd(k, d_i) .

(b) استنتج: تكون زمرة أبيلية منتهية دائرية إذا وفقط إذا كان للمعادلة $x^k = e$ عدد حلول لا يتجاوز $k$ من أجل كل $k$ . (c) استعد دائرية الزمر الجزئية المنتهية من $K^\times$ (حيث $K$ حقل، الفصل 4): ولماذا يضمن كثير الحدود $X^k - 1$ محكَّ (b)؟

حل

حل التمرين 3.11.

(a) بمبرهنة البنية، $G \cong \prod_i\Z/d_i\Z$ ، وتنفصل المعادلة $x^k = e$ إحداثيًا. وفي $\Z/d\Z$ : للمعادلة $kx \equiv 0 \pmod d$ عدد حلول قدره $\gcd(k, d)$ بالضبط (إذ يجب أن يكون $x$ مضاعفًا للعدد $d/\gcd(k,d)$ ، وعدد هذه المضاعفات $\gcd(k, d)$ ). ثم نضرب على العوامل.

(b) إذا كانت $G = \Z/d_s\Z$ دائرية ( $s = 1$ )، فالعدد $\gcd(k, d_s) \leq k$ . وإذا كان $s \geq 2$ : نأخذ $k = d_1$ ؛ فيكون العدد $\prod_i\gcd(d_1, d_i) = d_1^{\,s} > d_1$ (لأن كل $\gcd$ يساوي $d_1$ بسلسلة القابلية للقسمة): أي إن للمعادلة $x^{d_1} = e$ أكثر من $d_1$ حل.

(c) في حقل، لكثير الحدود $X^k - 1$ عدد جذور لا يتجاوز $k$ (الفصل 2: فكثير حدود غير معدوم من الدرجة $k$ على حلقة تامة)، ومنه فإن كل زمرة جزئية منتهية $G \leq K^\times$ تحقق محك (b): أي إن $G$ دائرية — وهو البرهان البنيوي من سطر واحد على دائرية $\mathbb F_q^\times$ ، مكمّلًا برهان الإحصاء في الفصل 4.

تمرين 3.12 ★★★

(المصفوفات الأوّلية تولّد) (a) برهن على أن $M \in M_n(\Z)$ قابلة للقلب في $M_n(\Z)$ إذا وفقط إذا كان $\det M = \pm1$ . (b) برهن على أن $SL_2(\Z)$ مولَّدة بالمصفوفتين الأوّليتين $E = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ و $F = \bigl(\begin{smallmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . (شغّل خوارزمية إقليدس على العمود الأول للمصفوفة $M \in SL_2(\Z)$ بالضرب من اليسار في قوى $E, F$ ، وصولًا إلى $\pm\bigl(\begin{smallmatrix}1 & *\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ ؛ ثم أنهِ يدويًا — ولاحظ $-I = (EF^{-1}E)^2$ .) (c) اشرح الصلة باختزال سميث: فعلى $\Z$ ، تكفي العمليات على الأسطر والأعمدة ذات المحدد $1$ للتقطير، إلى حدود الإشارات.

حل

حل التمرين 3.12.

(a) إذا كان $MN = I$ حيث $N$ صحيحة: فإن $\det M\det N = 1$ وكلاهما صحيح، ومنه $\det M = \pm1$ . وبالعكس، إذا كان $\det M = \pm1$ ، فإن صيغة المرافقات $M^{-1} = \frac1{\det M}\,{}^t\!\operatorname{com}(M)$ ذات عناصر صحيحة.

(b) الضرب من اليسار في $E^{-k}$ يطرح $k$ مرة السطرَ $2$ من السطر $1$ ؛ والضرب في $F^{-k}$ يطرح $k$ مرة السطرَ $1$ من السطر $2$ . وإذا أُعطيت $M = \bigl(\begin{smallmatrix}a & *\\ c & *\end{smallmatrix}\bigr) \in SL_2(\Z)$ ، فإن العمود الأول $(a, c)$ متجهة أحادية النمط ( $\gcd(a, c) = 1$ : لأنه يقسم $\det M = 1$ ). نشغّل خوارزمية إقليدس على $(a, c)$ بهذه العمليات على الأسطر: فبعد عدد منتهٍ من الخطوات يصير العمود $(\pm1, 0)$ . وتصير المصفوفة عندئذٍ $\pm \bigl(\begin{smallmatrix}1 & b\\ 0 & 1\end{smallmatrix} \bigr) = \pm E^{b}$ (لأن المحدد بقي $1$ ). ويبقى أن نكتب $-I$ بدلالة المولِّدات: $(EF^{-1}E)^2 = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)^2 = -I$ (تحقق من مربّع مصفوفة الدوران). وبفكّ الخطوات، تكون $M$ كلمةً في $E^{\pm1}, F^{\pm1}$ .

(c) تستعمل خوارزمية سميث (الطريقة 3.9) عمليات على الأسطر والأعمدة من هذا النوع بالضبط (مع التبديلات وتغييرات الإشارة، وهي نفسها جداءات لعمليات أوّلية إلى حدود إشارة المحدد): فعلى $\Z$ ، تُكتب كل مصفوفة على الصورة $U\,D\,V$ حيث $U, V$ جداءات مصفوفات أوّلية و $D$ صيغة سميث — والسؤال (b) هو الحالة $2\times2$ ذات المحدد $1$ من الحقيقة العامة القائلة إن مصفوفات النمط $E$ تولّد $SL_n(\Z)$ .

3.6 مسألة: المُبادِل والمُبادِل المضاعف

مسألة 3.1

مسألة نهاية الأسبوع — الصيغة الناطقة، والمُبادِل، والمُبادِل المضاعف

ليكن $K$ حقلًا، وليكن $V$ فضاءً متجهيًا على $K$ بُعده $n \geq 1$ ، وليكن $u \in \mathcal L(V)$ . ندرس المُبادِل

\mathcal C(u) = \{v \in \mathcal L(V) : uv = vu\},

وهو جبر جزئي من $\mathcal L(V)$ يحتوي على $K[u] = \{P(u) : P \in K[X]\}$ ، ونبرهن على صيغة فروبينيوس للبُعد وعلى مبرهنة المُبادِل المضاعف: $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ . وفي كل ما يلي، $V$ هو المقاس على $K[X]$ المعرَّف بالتشاكل $u$ ، وعوامله الصامدة $P_1 \mid \cdots \mid P_s$ وتفكيكه الدائري $V = \bigoplus_{i=1}^s V_i$ ، $V_i = K[u]\,x_i \cong K[X]/(P_i)$ ، $n_i = \deg P_i$ (المبرهنة 3.16).

الجزء الأول — مصفوفة التقديم $XI - M$ ، وتمارين تمهيدية.

لتكن $M \in M_n(K)$ وليرسل $\varphi \colon K[X]^n \to V_M = K^n$ العنصرَ $(Q_1, \dots, Q_n)$ إلى $\sum_i Q_i(M)e_i$ . برهن على أن $\varphi$ تشاكل شامل لمقاسات على $K[X]$ وأن كل عمود من $XI_n - M$ يقع في $\ker\varphi$ .
برهن على أن كل عنصر من $K[X]^n$ موافقٌ، بترديد أعمدة $XI_n - M$ ، لمتجهة ثابتة (اختزل الدرجات باستعمال $Xe_i \equiv \sum_j m_{ji}e_j$ )، واستنتج $\ker\varphi = (XI_n - M)\,K[X]^n$ : أي إن للمقاس $V_M$ مصفوفةَ التقديم $XI_n - M$ . واستعد نقطة انطلاق النتيجة 3.17: أي إن صوامد التشابه للمصفوفة $M$ هي العوامل الصامدة غير القابلة للقلب للمصفوفة $XI_n - M$ .
احسب صوامد التشابه لكلٍّ من: مصفوفة سلَّمية $\lambda I_n$ ؛ ومصفوفة قطرية عناصر قطرها متمايزة؛ وكتلة جوردان $J_n(0)$ من القياس $n \times n$ ؛ والمصفوفة $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ من أجل $n = 3$ .
برهن على أن $\dim K[u] = \deg \mu_u = n_s$ .

الجزء الثاني — التشاكلات بين المقاسات الدائرية.

ليكن $P, Q$ واحديين غير ثابتين. برهن على أن كل تشاكل $f \colon K[X]/(P) \to K[X]/(Q)$ على $K[X]$ يتحدّد بالقيمة $f(\bar 1)$ ، وأن $\bar c \in K[X]/(Q)$ يصلح أن يكون $f(\bar 1)$ إذا وفقط إذا كان $P\bar c = 0$ في $K[X]/(Q)$ .
استنتج

$\operatorname{Hom}_{K[X]}\bigl(K[X]/(P),\, K[X]/(Q)\bigr) \;\cong\; K[X]\big/\bigl(\gcd(P, Q)\bigr),$

وبُعده $\deg \gcd(P, Q)$ على $K$ . (برهن على أن الحلول $\bar c$ للمعادلة $P\bar c = 0$ في $K[X]/(Q)$ تشكّل المقاس الجزئي الدائري المولَّد بالعنصر $\overline{Q/\gcd(P,Q)}$ .)
برهن على صيغة فروبينيوس:

$\dim_K \mathcal C(u) = \sum_{i,j=1}^{s} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i=1}^{s} (2s - 2i + 1)\, n_i .$

(التشاكل $v$ المتبادل مع $u$ هو بالضبط تشاكل ذاتي للمقاس $V$ على $K[X]$ ؛ فكّك $\operatorname{End}(\bigoplus_i V_i)$ إلى مصفوفات تشاكلات $V_j \to V_i$ واستعمل سلسلة القابلية للقسمة.)
استنتج $\dim \mathcal C(u) \geq n$ ، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $u$ دائريًا ( $s = 1$ )، واحسب $\dim\mathcal C(u)$ من أجل $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : وهما طرفا الصيغة.
تحقق من صيغة فروبينيوس مباشرةً من أجل $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ بحساب المُبادِل صراحةً على صورة مصفوفات من القياس $3\times3$ .

الجزء الثالث — مبرهنة المُبادِل المضاعف. ليكن $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ ؛ نبرهن على أن $w \in K[u]$ .

برهن على $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ ، وعلى أن كل $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ يتبادل مع $u$ — ومنه فإن الاحتواء المطلوب برهانه، $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ ، تدقيقٌ حقيقي للاحتواء $w \in \mathcal C(u)$ .
لنفترض أولًا أن $u$ دائري، أي $V = K[u]x$ . برهن مباشرةً على أن $\mathcal C(u) = K[u]$ (قيّم تشاكلًا متبادلًا $v$ عند $x$ : فيكون $v(x) = P(u)x$ من أجل $P$ ما، ثم قارن $v$ بالتشاكل $P(u)$ على الأساس $u^k x$ )، واخلص إلى المبرهنة في هذه الحالة.
لنعد إلى الحالة العامة. من أجل كل $i$ ، ليكن $\pi_i\colon V \to V_i$ الإسقاطَ على امتداد الحدود الأخرى. برهن على $\pi_i \in \mathcal C(u)$ ، واستنتج أن $w$ يحفظ كل $V_i$ ويتبادل مع $u_i = u\restriction_{V_i}$ ؛ ثم اخلص بواسطة السؤال 11 مطبَّقًا على $u_i$ الدائري: أي توجد كثيرات حدود $Q_i$ تحقق $w\restriction_{V_i} = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ .
يبقى أن نلصق كثيرات الحدود $Q_i$ في كثير حدود واحد. من أجل $i \leq j$ (ومنه $P_i \mid P_j$ )، برهن على أن $\eta_{ij} \colon V_j \to V_i$ ، $R(u)x_j \mapsto R(u)x_i$ ، تشاكلٌ معرَّف تعريفًا سليمًا على $K[X]$ (وما يجب التحقق منه هو أن $R(u)x_j = 0$ يستلزم $R(u)x_i = 0$ )، وأن $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\circ\pi_j$ ، ممدَّدًا بالقيمة $0$ على الحدود الأخرى، يقع في $\mathcal C(u)$ .
باستعمال $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ ، برهن على $Q_i \equiv Q_j \pmod{P_i}$ من أجل $i \leq j$ . واستنتج أن $Q = Q_s$ يحقق $Q \equiv Q_i \pmod {P_i}$ من أجل كل $i$ ، ومنه $w = Q(u)$ على كل $V_i$ ، ومنه على $V$ :

$\boxed{\ \mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u].\ }$
(خاتمة) استنتج من المبرهنة: إذا كان $v$ يتبادل مع كل مصفوفة تتبادل مع $u$ ، وكان $u$ دائريًا، فإن $v$ كثير حدود في $u$ ؛ وأعطِ مثالًا يبيّن أن $\mathcal C(u) = K[u]$ يخفق من أجل $u = \mathrm{id}$ حيث $n \geq 2$ — وأين تدخل الدائرية بالضبط؟

الجزء الرابع — عوائد صوامد التشابه. الصيغة الناظمية الناطقة آلة؛ وهذه خمسة من مخرجاتها الكلاسيكية.

(المنقولة) برهن على أن كل $M \in M_n(K)$ تشابه منقولتها ${}^tM$ . (فالعمليات التي تحوّل $XI - M$ إلى صيغة سميث، منقولةً، تحوّل $XI - {}^tM$ إلى صيغة سميث نفسها: أي صوامد تشابه متساوية.)
(نزول التشابه) ليكن $K \subseteq L$ امتداد حقول وليكن $M, N \in M_n(K)$ . برهن على أنه إذا كانت $M$ و $N$ متشابهتين على $L$ ، فهما متشابهتان على $K$ . (فصيغة سميث للمصفوفة $XI - M$ المحسوبة في $K[X]$ تبقى صيغة سميث في $L[X]$ — ولماذا لا تتغير العوامل الصامدة؟) ونتيجة جديرة بالحفظ: كل مصفوفتين حقيقيتين مقترنتين في $GL_n(\C)$ مقترنتان في $GL_n(\R)$ .
(تصنيف معدومات القوة) ليكن $u$ معدوم القوة. برهن على أن عدد الكتل ذات القياس $\geq k$ في تفكيكه إلى كتل جوردان معدومة القوة يساوي $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k$ ، واستنتج: أن أصناف معدومات القوة في $M_n(K)$ ، من أجل أي حقل $K$ ، في تقابل مع تجزئات العدد $n$ . وكم صنفًا من معدومات القوة في $M_5(K)$ ؟
(زوج ملموس) عيّن صوامد التشابه للاشتقاق $D\colon P \mapsto P'$ الفاعل على فضاء كثيرات الحدود ذات الدرجة $< n$ المرموز إليه بالرمز $K_{n-1}[X]$ : (a) من أجل $K = \Q$ ؛ (b) من أجل $K = \mathbb F_p$ حيث $p < n$ (ففي المميّز $p$ لدينا $(X^p)' = 0$ : احسب $\ker D^k$ واستعمل السؤال 18).
(أصناف الاقتران في $GL_2(\mathbb F_q)$ ) باستعمال العوامل الصامدة، برهن على أن كل صنف من $GL_2(\mathbb F_q)$ من نمط واحد بالضبط من الأنماط الأربعة: مركزي $aI$ ؛ أو قابل للتقطير بقيمتين ذاتيتين متمايزتين $a \neq b$ في $\mathbb F_q^\times$ ؛ أو غير نصف بسيط وكثيرُ حدوده الأدنى $(X - a)^2$ ؛ أو دائري وكثيرُ حدوده المميّز غير قابل للاختزال.
أحصِ أصناف كل نمط واخلص إلى: أن للزمرة $GL_2(\mathbb F_q)$ عدد $q^2 - 1$ من أصناف الاقتران بالضبط. (أحصِ كثيرات الحدود الواحدية غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية على $\mathbb F_q$ ؛ والأزواج غير المرتّبة $\{a, b\}$ ؛ وتذكّر أن القابلية للقلب تقيّد الحدود الثابتة.)
(الدائرية هي الحالة العامة) برهن على أن $M \in M_2(\mathbb F_q)$ تخفق في أن تكون دائرية إذا وفقط إذا كانت $M$ سلَّمية، واستنتج أن مصفوفة عشوائية منتظمة من القياس $2\times2$ على $\mathbb F_q$ تكون دائرية باحتمال $1 - q^{-3}$ . واذكر الحدس المماثل من أجل $M_n$ ومن أجل $q$ كبير (دون برهان): فالمصفوفات غير الدائرية نادرة — ولهذا لم يحتج الجزء الثالث من المسألة 3.1 إلى عمل حقيقي إلا بعد تجاوز الحالة العامة.

الجزء الخامس — تكملات.

(مركز المُبادِل) برهن على أن مركز الجبر $\mathcal C(u)$ هو بالضبط $K[u]$ (اجمع بين احتوائَي الجزء الثالث). واستنتج أن $\mathcal C(u)$ تبديلي إذا وفقط إذا كان $u$ دائريًا — فتستعيد حالة التساوي في السؤال 8 بطريق بنيوي محض.
(أي الأبعاد تتحقق؟) استنتج من صيغة فروبينيوس أن $\dim\mathcal C(u) \equiv n \pmod 2$ من أجل كل $u$ . ثم عيّن بدقة مجموعة القيم التي يأخذها $\dim \mathcal C(u)$ حين يمسح $u$ الفضاءَ $\mathcal L(V)$ مع $\dim V = 4$ : برهن على أنها $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ (اسرد متتاليات الدرجات $n_1 \leq \dots \leq n_s$ التي مجموعها $4$ وحقّق كلًّا منها بمصفوفة معدومة القوة). وعلى وجه الخصوص لا يتحقق العددان $12$ و $14$ رغم أن زوجيتهما صحيحة: فقيد الزوجية لازم وغير كافٍ.
(معادلة الأصناف في $GL_2(\mathbb F_3)$ ) من أجل $q = 3$ ، احسب عدد عناصر كل صنف اقتران من أصناف السؤال 20 بمبرهنة المدار والمثبِّت: فمُرَكِّز مصفوفة $M$ دائرية في $GL_2(\mathbb F_q)$ هو زمرة العناصر القابلة للقلب من $K[M]$ (السؤال 11). عيّن $K[M]$ في الأنماط الثلاثة غير المركزية، واسرد كثيرات الحدود الواحدية الثلاثة غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية على $\mathbb F_3$ ، وتحقق من معادلة الأصناف

$48 = \abs{GL_2(\mathbb F_3)} = 2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6,$

بعدد $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ من الأصناف، كما تنبّأ السؤال 21.

حل

حل المسألة 3.1.

1. التطبيق $\varphi$ جمعي وخطي على $K[X]$ : $\varphi(X \cdot (Q_i)_i) = \sum_i (XQ_i)(M)e_i = M\sum_i Q_i(M)e_i = X \cdot \varphi\bigl((Q_i)_i\bigr)$ ، لأن بنية المقاس $V_M$ هي $X \cdot v = Mv$ . وهو شامل: لأن المتجهات الثابتة تعطي $K^n$ كلها. والعمود $j$ من $XI - M$ هو $Xe_j - \sum_i m_{ij}e_i$ ، وصورته $Me_j - \sum_i m_{ij}e_i = 0$ .

2. بترديد الأعمدة، $Xe_j \equiv \sum_i m_{ij}e_i$ : فكل متجهة من كثيرات الحدود تختزل، بالتراجع على أعلى درجة، إلى متجهة ثابتة $c \in K^n$ . وإذا كانت المتجهة الأصلية في $\ker\varphi$ ، فإن $\varphi(c) = c = 0$ (لأن $\varphi$ على الثوابت هو التطابق $K^n = V_M$ )، ومنه تقع المتجهة في الفضاء المولَّد بالأعمدة: أي $\ker\varphi = (XI_n - M)K[X]^n$ . ومنه $V_M \cong K[X]^n/(XI - M)K[X]^n$ ، وتعطي صيغة سميث على $K[X]$ (وجميع عواملها الصامدة غير معدومة لأن جداءها $\det(XI - M) = \chi_M$ ) أن $V_M \cong \bigoplus_i K[X]/(f_i)$ : فكثيرات الحدود $f_i$ غير الثابتة هي صوامد التشابه، ويمكن حسابها بوصفها خوارج قواسم مشتركة كبرى للمحدّدات الجزئية (المبرهنة 3.8).

3. من أجل $\lambda I_n$ : تكون $XI - \lambda I$ في صيغة سميث أصلًا: فالصوامد $(X - \lambda, \dots, X - \lambda)$ ، وعددها $n$ . ومن أجل مصفوفة قطرية عناصر قطرها متمايزة: $V \cong \bigoplus_i K[X]/(X - \lambda_i)$ بموديلات متكاملة مثنى مثنى، ومنه تضغط مبرهنة الباقي الصيني ذلك إلى المقاس الدائري الوحيد $K[X]/\bigl(\prod_i(X - \lambda_i)\bigr)$ : أي صامد واحد هو $\chi$ . ومن أجل $J_n(0)$ : يفرض $\mu = X^n = \chi$ صامدًا وحيدًا هو $X^n$ . ومن أجل $\operatorname{diag}(J_2(0), J_1(0))$ : القواسم الأوّلية $X^2, X$ : فالصوامد $P_1 = X \mid P_2 = X^2$ .

4. يرسل $P \mapsto P(u)$ الحلقةَ $K[X]$ على $K[u]$ ، ونواته $(\mu_u)$ بحكم تعريف كثير الحدود الأدنى: ومنه $K[u] \cong K[X]/(\mu_u)$ ، وبُعده $\deg\mu_u = \deg P_s = n_s$ .

5. تفرض الخطية على $K[X]$ أن $f(\bar Q) = f(Q\cdot\bar 1) = Q\,f(\bar 1)$ . ويحقق الصنف $\bar 1$ العلاقة $P \bar 1 = 0$ ، ومنه فإن $P f(\bar 1) = 0$ شرط لازم. وبالعكس، إذا كان $P\bar c = 0$ ، فإن $f(\bar Q) = Q\bar c$ معرَّف تعريفًا سليمًا (لأن $Q \equiv Q' \bmod P \Rightarrow (Q - Q')\bar c \in$ مضاعفات $P\bar c = 0$ ) وخطي على $K[X]$ .

6. ليكن $g = \gcd(P, Q)$ و $P = gP'$ و $Q = gQ'$ حيث $\gcd(P', Q') = 1$ . في $K[X]/(Q)$ : $P\bar c = 0 \iff Q \mid Pc \iff Q' \mid P'c \iff Q' \mid c$ (إقليدس، $\gcd(P', Q') = 1$ ). ومنه فإن العناصر المقبولة $\bar c$ تشكّل المقاس الجزئي المولَّد بالعنصر $\bar{Q'}$ ، ومُبيده $\{R : Q \mid RQ'\} = (g)$ : أي إن ذلك المقاس الجزئي $\cong K[X]/(g)$ . ومع السؤال 5، $\operatorname{Hom}(K[X]/(P), K[X]/(Q)) \cong K[X]/(\gcd(P,Q))$ وبُعده $\deg\gcd(P,Q)$ .

7. يتبادل $v$ مع $u$ إذا وفقط إذا تبادل مع كل $P(u)$ ، أي إذا وفقط إذا كان $v$ خطيًا على $K[X]$ : أي $\mathcal C(u) = \operatorname{End}_{K[X]}(V)$ . وبكتابة تشاكلات $V = \bigoplus_j V_j$ على صورة مصفوفات $(f_{ij})$ ، أي $f_{ij} \in \operatorname{Hom}(V_j, V_i)$ (بالتركيب مع الانغمارات والإسقاطات)، يعطي السؤال 6

\dim \mathcal C(u) = \sum_{i,j} \deg\gcd(P_i, P_j) = \sum_{i,j} n_{\min(i,j)} = \sum_{k=1}^{s} \bigl(2(s - k) + 1\bigr)\,n_k ,

باستعمال سلسلة القابلية للقسمة ( $\gcd(P_i, P_j) = P_{\min(i,j)}$ ) وباستعمال، في الخطوة الأخيرة، أن $\min(i,j) = k$ يتحقق من أجل $2(s - k) + 1$ زوجًا $(i, j)$ بالضبط.

8. بما أن $2(s-k)+1 \geq 1$ ، فإن $\dim\mathcal C(u) \geq \sum_k n_k = n$ ، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $s = 1$ ، أي إذا وفقط إذا كان $u$ دائريًا (التمرين 3.9). ومن أجل $u = \lambda\,\mathrm{id}$ : يكون $s = n$ وجميع $n_k = 1$ : $\dim = \sum_{k=1}^n (2(n-k)+1) = n^2$ — وهذا صحيح، لأن $\mathcal C(\lambda\,\mathrm{id}) = \mathcal L(V)$ .

9. بالصيغة: الصوامد $(X, X^2)$ ، ومنه $s = 2$ و $n_1 = 1$ و $n_2 = 2$ : أي $\dim = 3\cdot1 + 1\cdot2 = 5$ . ومباشرةً: في الأساس $(e_1, e_2, e_3)$ حيث $u e_2 = e_1$ و $ue_1 = ue_3 = 0$ ، يعطي كتابة $Au = uA$ من أجل $A = (a_{ij})$ الشروطَ $a_{21} = a_{23} = a_{31} = 0$ و $a_{11} = a_{22}$ : أي خمسة وسائط حرة $a_{11}{=}a_{22}, a_{12}, a_{13}, a_{32}, a_{33}$ .

10. كل كثير حدود $P(u)$ يتبادل مع كل ما يتبادل مع $u$ (لأنه مجموع قوى للتشاكل $u$ ): ومنه $K[u] \subseteq \mathcal C(\mathcal C(u))$ . و $u \in \mathcal C(u)$ ، ومنه فإن أي $w \in \mathcal C(\mathcal C(u))$ يتبادل مع $u$ .

11. ليكن $V = K[u]x$ وليكن $v \in \mathcal C(u)$ . نكتب $v(x) = P(u)x$ (بالدائرية). ومن أجل $y = Q(u)x$ كيفي: $v(y) = vQ(u)x = Q(u)v(x) = Q(u)P(u)x = P(u)y$ . إذن $v = P(u)$ : أي $\mathcal C(u) = K[u]$ . ومنه $\mathcal C(\mathcal C(u)) = \mathcal C(K[u]) = \mathcal C(u) = K[u]$ (لأن التبادل مع $K[u]$ كلها هو نفسه التبادل مع $u$ ). فالمبرهنة صحيحة في الحالة الدائرية.

12. التطبيق $\pi_i$ خطي على $K[X]$ (لأن التفكيك مجموع مباشر لمقاسات جزئية)، ومنه $\pi_i \in \mathcal C(u)$ ، ويتبادل $w$ معه: $w(V_i) = w\pi_i(V) = \pi_i w(V) \subseteq V_i$ . والقصر $w_i = w\restriction_{V_i}$ يتبادل مع $u_i = u\restriction_{V_i}$ الدائري (السؤال 10)، و $w_i \in \mathcal C(u_i) = K[u_i]$ (السؤال 11): أي $w_i = Q_i(u_i) = Q_i(u)\restriction_{V_i}$ من أجل $Q_i \in K[X]$ ما.

13. سلامة تعريف $\eta_{ij}(R(u)x_j) = R(u)x_i$ : إذا كان $R(u)x_j = 0$ فإن $P_j \mid R$ ، ويعطي $P_i \mid P_j$ أن $P_i \mid R$ ، ومنه $R(u)x_i = 0$ ( $\operatorname{Ann}(x_i) = (P_i)$ ). وعندئذٍ يكون $\eta_{ij}$ خطيًا على $K[X]$ بحكم البناء، ويكون $\tilde\eta_{ij} = \eta_{ij}\pi_j$ تركيبًا لتشاكلات $V \to V$ على $K[X]$ : أي $\tilde\eta_{ij} \in \mathcal C(u)$ .

14. نقيّم $w\tilde\eta_{ij} = \tilde\eta_{ij}w$ عند $x_j$ : فالطرف الأيسر هو $w(x_i) = Q_i(u)x_i$ ؛ والطرف الأيمن هو $\eta_{ij}\bigl(Q_j(u)x_j\bigr) = Q_j(u)x_i$ . ومنه $(Q_i - Q_j)(u)\,x_i = 0$ : أي $P_i \mid Q_i - Q_j$ من أجل كل $i \leq j$ . وعلى وجه الخصوص، مع $Q = Q_s$ : $Q \equiv Q_i \pmod{P_i}$ ، ومنه يتوافق $Q(u)$ و $Q_i(u)$ على $V_i$ (الذي يبيده $P_i(u)$ ). ومن ثَمّ $w = Q(u)$ على كل $V_i$ ، ومنه على $V$ : أي $\mathcal C(\mathcal C(u)) \subseteq K[u]$ ، ومع السؤال 10، $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ .

15. العبارة الأولى هي الأسئلة من 10 إلى 14 (أو، من أجل $u$ دائري، السؤال 11 وحده). ومن أجل $u = \mathrm{id}$ ، $n \geq 2$ : يكون بُعد $\mathcal C(u) = \mathcal L(V)$ مساويًا $n^2$ ، بينما $\dim K[u] = \deg\mu_u = 1$ . ومنه فإن $\mathcal C(u) = K[u]$ يخفق إخفاقًا شديدًا؛ ومع ذلك تصح مبرهنة المُبادِل المضاعف ( $\mathcal C(\mathcal L(V)) = K\,\mathrm{id} = K[u]$ : فمركز جبر المصفوفات هو المصفوفات السلَّمية). فالدائرية هي ما يجعل المُبادِل المفرد كثيرَ حدود أصلًا؛ أما المُبادِل المضاعف فهو كثير حدود دائمًا.

16. إذا كان $P(XI - M)Q = S$ اختزالًا لسميث ( $P, Q$ قابلتان للقلب على $K[X]$ )، فإن النقل يعطي ${}^tQ\,(XI - {}^tM)\,{}^tP = {}^tS = S$ : أي صيغة سميث نفسها، ومنه فإن للمصفوفتين $XI - M$ و $XI - {}^tM$ العواملَ الصامدة نفسها، أي إن للمصفوفتين $M$ و ${}^tM$ صوامدَ التشابه نفسها (النتيجة 3.17): إذن هما متشابهتان.

17. صوامد التشابه للمصفوفة $M$ على $L$ هي العوامل الصامدة للمصفوفة $XI - M$ في $L[X]$ . وأي اختزال لسميث للمصفوفة $XI - M$ على $K[X]$ — بمصفوفتين $P, Q$ قابلتين للقلب على $K[X]$ ، وقطري مع سلسلة القابلية للقسمة — هو أيضًا اختزال سليم لسميث على $L[X]$ (لأن $P, Q$ تبقيان قابلتين للقلب: فمحدداهما ثابتان غير معدومين)، والعوامل الصامدة الواحدية وحيدة: ومنه تتطابق العوامل الصامدة المحسوبة على $K$ وعلى $L$ . إذن $M \sim_L N$ إذا وفقط إذا كان لهما العوامل الصامدة نفسها إذا وفقط إذا كان $M \sim_K N$ . وعلى وجه الخصوص، تكون المصفوفتان الحقيقيتان المقترنتان على $\C$ مقترنتين على $\R$ — وهي عبارة كثيرًا ما تُبرهَن تحليليًا (بتخصيص مصفوفة قابلة للقلب $P + \iu Q$ )، وهي هنا بنيوية.

18. نفكّك $u = \bigoplus J_{m_t}(0)$ إلى كتل جوردان معدومة القوة. وفي كتلة واحدة قياسها $m$ ، لدينا $\operatorname{rk}J_m^k = \max(m - k, 0)$ ، ومنه $\operatorname{rk}J_m^{k-1} - \operatorname{rk}J_m^k = 1$ إذا كان $m \geq k$ ، و $0$ فيما عدا ذلك. وبالجمع على الكتل: $\operatorname{rk}u^{k-1} - \operatorname{rk}u^k = \#\{t : m_t \geq k\}$ . ومن ثَمّ تحدّد متتالية الرتب المجموعةَ المتعدّدة $(m_t)$ — وهي تجزئة للعدد $n$ — وبالعكس تتحقق كل تجزئة: فأصناف معدومات القوة $\leftrightarrow$ تجزئات $n$ ، على كل حقل. ومن أجل $M_5$ : عدد الأصناف $p(5) = 7$ ( $5$ ؛ $4{+}1$ ؛ $3{+}2$ ؛ $3{+}1{+}1$ ؛ $2{+}2{+}1$ ؛ $2{+}1{+}1{+}1$ ؛ $1^5$ ).

19. (a) على $\Q$ (أو على أي حقل مميّزه $0$ )، لدينا $D^n = 0$ و $D^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)!\, \neq 0$ : أي إن $D$ معدوم القوة من الدليل $n$ على فضاء بُعده $n$ ، ومنه فهو دائري بصامد وحيد $X^n$ (إذ يولّد $x = X^{n-1}$ : لأن مشتقاته المتكررة تولّد الفضاء). (b) على $\mathbb F_p$ مع $p < n$ : لدينا $D^p = 0$ ، لأن المشتقة النونية من الرتبة $p$ لكل حد أحادي $X^m$ تحمل العامل $m(m-1)\cdots(m-p+1)$ ، وهو جداء $p$ عددًا صحيحًا متتاليًا، ومنه $\equiv 0 \bmod p$ . نكتب $n = ap + r$ حيث $0 \leq r < p$ . عندئذٍ يتولّد $\ker D^k$ بالحدود الأحادية $X^m$ التي تحقق $D^kX^m = 0$ ؛ وبإحصاء الأُسس $m < n$ حسب بواقيها بترديد $p$ : $\dim\ker D^k = ak + \min(r, k)$ من أجل $0 \leq k \leq p$ ، ومنه $\operatorname{rk}D^{k-1} - \operatorname{rk}D^k = \dim\ker D^k - \dim\ker D^{k-1} = a + \mathbf 1_{k \leq r}$ . وحسب السؤال 18، تضم التجزئة $a$ كتلة قياسها $p$ بالضبط و (إذا كان $r > 0$ ) كتلةً واحدة قياسها $r$ : أي إن صوامد التشابه $X^r \mid X^p \mid \dots \mid X^p$ . فالمميّز يغيّر الصيغة الناظمية لأشهر مؤثر في الرياضيات.

20. للمصفوفة $M \in GL_2$ عدد صوامد $s \in \{1, 2\}$ . فإذا كان $s = 2$ : $P_1 = P_2 = X - a$ (مع $a \neq 0$ للقابلية للقلب)، أي $M = aI$ مركزية. وإذا كان $s = 1$ : تكون $M$ دائرية وكثيرُ حدودها المميّز $=$ الأدنى $\chi$ من الدرجة $2$ ، وتوافق الأصنافُ كثيراتِ الحدود $\chi$ الممكنة مع $\chi(0) \neq 0$ : أي $\chi$ منشطر بجذرين متمايزين $a \neq b$ (والمصفوفة المرافقة $\sim$ قطرية)؛ أو $\chi = (X - a)^2$ (المرافقة، غير نصف بسيطة)؛ أو $\chi$ غير قابل للاختزال. ونمط واحد بالضبط لكلٍّ — لأن العوامل الصامدة صامدٌ تام.

21. المركزية: $q - 1$ اختيارًا للعنصر $a$ . والقيم الذاتية المنشطرة المتمايزة: أزواج غير مرتّبة $\{a, b\} \subseteq \mathbb F_q^\times$ مع $a \neq b$ : أي $\binom{q-1}2$ صنفًا. والأدنى $(X-a)^2$ : أي $q - 1$ صنفًا. وكثيرات الحدود من الدرجة الثانية غير القابلة للاختزال ذات الحد الثابت غير المعدوم: جميعها صالحة (لأن جذورها غير معدومة)، وعددها $\frac{q^2 - q}2$ من كثيرات الحدود الواحدية غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية (أي $q^2$ من كثيرات الحدود الواحدية من الدرجة الثانية ناقص $\binom q2 + q = \frac{q^2+q}2$ المنشطرة منها). المجموع:

(q - 1) + \frac{(q-1)(q-2)}2 + (q - 1) + \frac{q^2 - q}2 = q^2 - 1 .

22. إذا لم تكن $M$ دائرية، فإن $s = 2$ وتكون $M$ سلَّمية (فانقسام السؤال 20 الثنائي صحيح في $M_2$ ، سواء أكانت قابلة للقلب أم لا: إذ يفرض وجود صامدين من الدرجة $1$ مع $P_1 \mid P_2$ و $P_1 = P_2$ أن $M = aI$ ). وعدد المصفوفات السلَّمية $q$ من بين $q^4$ مصفوفة: فاحتمال الدائرية $1 - q^{-3}$ . وفي العموم، يكون موضع عدم الدائرية في $M_n$ حيث تشترك المحدّدات الجزئية $(n-1)\times(n-1)$ للمصفوفة $XI - M$ في عامل — وهو شرط جبري فعلي — ومنه فنسبته صغيرة من الرتبة $O(1/q)$ من أجل $q$ كبير: فالمصفوفات التي تحقق $\chi = \mu$ هي القاعدة، وحجّة اللصق في الجزء الثالث هي الثمن المدفوع للاستثناءات.

23. كل عنصر من مركز $\mathcal C(u)$ يقع في $\mathcal C(u)$ ويتبادل مع كل عنصر من $\mathcal C(u)$ ، أي إنه يقع في $\mathcal C(\mathcal C(u)) = K[u]$ (السؤال 14). وبالعكس $K[u] \subseteq \mathcal C(u)$ ، ويتبادل كل $P(u)$ مع كل $v \in \mathcal C(u)$ (لأن مثل هذا $v$ يتبادل مع $u$ ، ومنه مع كل قوة للتشاكل $u$ ): أي إن $K[u]$ مركزي في $\mathcal C(u)$ . ومنه $Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ . ومن ثَمّ يكون $\mathcal C(u)$ تبديليًا إذا وفقط إذا كان $\mathcal C(u) = Z(\mathcal C(u)) = K[u]$ ؛ وفي تلك الحالة $\dim\mathcal C(u) = \dim K[u] = n_s \leq n$ ، بينما يعطي السؤال 8 أن $\dim\mathcal C(u) \geq n$ : ومنه $n_s = n$ و $s = 1$ ، أي إن $u$ دائري. وبالعكس، من أجل $u$ دائري يعطي السؤال 11 أن $\mathcal C(u) = K[u]$ ، وهو تبديلي. وبنيويًا: فجبر مصفوفات يساوي مركزه هو بالضبط جبر كثيرات الحدود $K[u]$ لتشاكل دائري $u$ .

24. كل معامل $2s - 2i + 1$ في صيغة فروبينيوس فرديٌّ، ومنه

\dim\mathcal C(u) = \sum_{i=1}^s(2s - 2i + 1)\,n_i \equiv \sum_{i=1}^s n_i = n \pmod 2 .

ومن أجل $n = 4$ ، تكون متتاليات الدرجات الممكنة $n_1 \leq \dots \leq n_s$ للعوامل الصامدة، التي مجموعها $4$ ، هي $(4)$ و $(1, 3)$ و $(2, 2)$ و $(1, 1, 2)$ و $(1, 1, 1, 1)$ ؛ وكلها متحققة، مثلًا بالتشاكل معدوم القوة الذي $P_i = X^{n_i}$ (فسلسلة القابلية للقسمة تصح تلقائيًا). وتعطي الصيغة على الترتيب

1\cdot4 = 4, \quad 3 + 3 = 6, \quad 6 + 2 = 8, \quad 5 + 3 + 2 = 10, \quad 7 + 5 + 3 + 1 = 16 .

ومنه فمجموعة القيم هي $\{4, 6, 8, 10, 16\}$ : أي أعداد زوجية بالزوجية الصحيحة، لكن $12$ و $14$ لا يتحققان أبدًا — فبين المتتاليات شبه الدائرية وبين $n^2$ الخاص بالسلَّمية توجد فجوة.

25. $\abs{GL_2(\mathbb F_3)} = (q^2 - 1)(q^2 - q) = 8 \cdot 6 = 48$ . النمط المركزي: $I$ و $2I$ ، أي صنفان عدد عناصر كلٍّ منهما $1$ . وفي الأنماط الثلاثة الأخرى تكون $M$ دائرية (السؤال 20)، ومنه فإن مُرَكِّزها في $GL_2$ هو زمرة العناصر القابلة للقلب من $\mathcal C(M) = K[M]$ (السؤال 11)، ويكون عدد عناصر الصنف $=48/\abs{K[M]^\times}$ بمبرهنة المدار والمثبِّت. والقيم الذاتية المنشطرة المتمايزة: لا يوجد سوى الزوج $\{1, 2\}$ ، أي صنف واحد؛ $K[M] \cong \mathbb F_3 \times \mathbb F_3$ (بمبرهنة الباقي الصيني على $\chi = (X-1) (X-2)$ )، والعناصر القابلة للقلب $2 \cdot 2 = 4$ ، فالعدد $48/4 = 12$ . والأدنى $(X - a)^2$ حيث $a \in \{1, 2\}$ : أي صنفان؛ $K[M] \cong \mathbb F_3[X]/((X-a)^2)$ ، والعناصر القابلة للقلب $q^2 - q = 6$ (لأن الحد الثابت للعنصر القابل للقلب $\neq 0$ بعد التمركز)، فالعدد $48/6 = 8$ . وكثير الحدود $\chi$ غير القابل للاختزال: عدد كثيرات الحدود الواحدية غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية على $\mathbb F_3$ هو $(9 - 3)/2 = 3$ ، وهي

X^2 + 1, \qquad X^2 + X + 2, \qquad X^2 + 2X + 2,

(بلا جذور في $\mathbb F_3$ : تحقق من $0, 1, 2$ )؛ أي ثلاثة أصناف، $K[M] \cong \mathbb F_9$ ، والعناصر القابلة للقلب $q^2 - 1 = 8$ ، فالعدد $48/8 = 6$ . ومعادلة الأصناف: $2\cdot1 + 1\cdot12 + 2\cdot8 + 3\cdot6 = 2 + 12 + 16 + 18 = 48$ ؛ وعدد الأصناف $2 + 1 + 2 + 3 = 8 = q^2 - 1$ ، وهو مطابق للسؤال 21.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد