ما معنى مقاس؟ — الرياضيات

تعريف 3.1 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 3 — المقاسات على حلقة مثاليات رئيسية

المقاس على $A$ هو زمرة أبيلية $(M, +)$ مزوَّدة بضرب سلَّمي $A \times M \to M$ يحقق بديهيات الفضاءات المتجهية: $a(x + y) = ax + ay$ ، $(a + b)x = ax + bx$ ، $(ab)x = a(bx)$ ، $1x = x$ . أما المقاسات الجزئية، وحواصل القسمة $M/N$ ، والتشاكلات (التطبيقات الخطية على $A$ )، والمجاميع المباشرة $\bigoplus_i M_i$ ، ومبرهنات التماثل، فتُعرَّف ويُبرهَن عليها حرفيًا كما في حالة الفضاءات المتجهية والزمر الأبيلية؛ وعلى وجه الخصوص $M/\ker f \cong \operatorname{im} f$ من أجل تشاكل $f$ .

أمثلة

مثال 3.2

الحالات الثلاث المحرّكة.

$A = K$ حقل: فالمقاسات فضاءات متجهية.
$A = \Z$ : فالمقاسات هي بالضبط الزمر الأبيلية (إذ يُفرض على $nx$ أن يكون $x + \dots + x$ )، والمقاسات الجزئية هي الزمر الجزئية.
$A = K[X]$ : فالمقاس فضاء متجهي $V$ على $K$ مزوَّد بتطبيق خطي على $K$ هو $u\colon x \mapsto X\cdot x$ — وبالعكس، يصير كل زوج $(V, u)$ مع $u \in \mathcal L(V)$ مقاسًا على $K[X]$ بواسطة $P \cdot x = P(u)(x)$ . والمقاسات الجزئية هي بالضبط الفضاءات الجزئية الصامدة تحت $u$ .

والمثالي في $A$ هو بالضبط مقاس جزئي من $A$ ؛ وحلقة القسمة $A/I$ مقاسٌ على $A$ . وخلافًا للفضاءات المتجهية، يمكن أن يكون للمقاسات التواء: ففي $\Z/6\Z$ ، يُبيد العنصرَ $\bar 3 \ne 0$ العنصرُ $2 \neq 0$ .

اقرأ في الفصل ←