دالة هولومورفية কী?

مثال 16.3

كثيرات الحدود في $z$، والدوال الكسرية خارج أقطابها، و — حسب مبرهنة الاشتقاق حدًّا حدًّا لمتسلسلات القوى في السنة الجامعية 2، وبرهانها يشتغل بالكيفية نفسها على $\C$ — كل مجموع لمتسلسلة قوى $\sum a_n(z - a)^n$ داخل قرص تقاربها: هولومورفية، ومشتقتها $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (بنصف القطر نفسه). وعلى وجه الخصوص تكون $\exp z = \sum z^n/n!$ صحيحة (هولومورفية على $\C$) مع $\exp' = \exp$. ومن جهة أخرى فإن $z \mapsto \bar z$ و $\abs z$ و $\operatorname{Re}z$ ليست هولومورفية في أي مكان (إذ تخفق كوشي–ريمان في كل مكان): فالهولومورفية صرامةٌ تحفظ التوجيه والزوايا، لا نعومة.

مثال 16.11 (الشذوذات تملي أنصاف الأقطار)

لماذا يكون لمتسلسلة تايلور للدالة الحقيقية البريئة $\frac1{1 + x^2}$ عند $x = 3$ تقاربٌ من أجل $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ فقط، مع أن شيئًا لا يعتلّ على المستقيم الحقيقي؟ لأن المبرهنة أعلاه تجعل نصف قطر التقارب عند $a$ مساويًا للمسافة من $a$ إلى أقرب نقطة تخفق عندها الهولومورفية. وهنا تكون $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ هولومورفية على $\C\setminus\{\pm\iu\}$ بالضبط، ومنه يتقارب النشر عند $a = 3$ على أكبر قرص يتفادى $\pm\iu$، ونصف قطره $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — ولا يمكن أن يتقارب على قرص أكبر، إذ كان المجموع سيمدّد $f$ هولومورفيًّا إلى جوار للنقطتين $\pm\iu$ حيث $\abs f \to \infty$. فالنظرية الحقيقية ترى نصف القطر الغامض $\sqrt{10}$؛ والمستوي العقدي يرى قطبين. وهذه هي القاعدة العملية: لتجد نصف قطر تقارب، عيّن الشذوذات — فمثلًا لمتسلسلة تايلور للدالة $\tan$ عند $0$ نصفُ القطر $\frac\pi2$ (أي أقرب جذور $\cos$)، وللدالة المولّدة لأعداد برنولي $\frac z{\eu^z - 1}$ (المسألة 16.1، الجزء السادس) نصفُ القطر $2\pi$ (أي أقرب جذور غير معدومة للمقدار $\eu^z - 1$: $\pm2\iu\pi$).