الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

16الدوال الهولومورفية

تبدو القابلية للاشتقاق العقدي تنويعًا صغيرًا على النظرية الحقيقية — نهايةٌ واحدة، ونسبةٌ واحدة. لكنها في الحقيقة كونٌ آخر. فدالةٌ قابلة للاشتقاق مرة واحدة على جزء مفتوح من $\C$ تكون تلقائيًّا قابلة للاشتقاق عددًا لانهائيًّا من المرات، وتحليلية، ومعيَّنة على مجال بأكمله بقيمها بجوار نقطة واحدة، ومقيَّدة بمبادئ شاملة صارمة (ليوفيل، والطويلة العظمى). وكل هذا يتدفق من معجزة واحدة، هي مبرهنة كوشي: أن تكامل دالة هولومورفية على امتداد مسار مغلق في مجال نجمي الشكل منعدم. ويبرهن هذا الفصل على المعجزة (بحجة غورسا، دون افتراض أي انتظام وراء القابلية للاشتقاق)، ويجني نتائجها الكلاسيكية، ويسدّد مبرهنةً استعملها هذا الكتاب على الحساب منذ الفصل 4: أن لكل كثير حدود عقدي غير ثابت جذرًا.

وفي كل ما يلي، تكون $\Omega \subseteq \C$ مفتوحة، ويرمز $D(a, r)$ إلى القرص المفتوح.

16.1 القابلية للاشتقاق العقدي

تعريف 16.1

تكون $f \colon \Omega \to \C$ هولومورفية على $\Omega$ إذا كانت، من أجل كل $z_0 \in \Omega$ ،

f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

موجودةً (حيث $h \in \C^*$ ). ومجاميع الدوال الهولومورفية وجداءاتها وخارج قسمتها (بمقامات غير معدومة) ومركّباتها هولومورفية، بالصيغ المعتادة (وبراهين السنتين الجامعيتين 1 و2 حرفيًّا: إذ لا تستعمل سوى عمليات الحقل والنهايات). ويرمز $\mathcal H(\Omega)$ إلى مجموعة الدوال الهولومورفية على $\Omega$ .

قضية 16.2 (كوشي–ريمان)

نكتب $f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$ . عندئذٍ تكون $f$ هولومورفية عند $z_0$ إذا وفقط إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق بالمعنى $\R$ عند $z_0$ (بوصفها تطبيقًا لمتغيّرين حقيقيين) و

\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad \text{عند} z_0 ;

أي، بالتكافؤ، إذا كان التفاضل الحقيقي هو الضرب في العدد العقدي $f'(z_0)$ .

برهان. تقول القابلية للاشتقاق بالمعنى $\C$ إن $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ مع $c = f'(z_0)$ : أي تفاضلٌ خطي بالمعنى $\R$ هو الضرب في $c = a + \iu b$ ، أي مصفوفته $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ في الأساس $(1, \iu)$ — وهي بالضبط العلاقات المعروضة بين المشتقات الجزئية. وبالعكس يكون تفاضلٌ كهذا خطيًّا بالمعنى $\C$ ، ويتوافق تعريفا $o(\abs h)$ . ∎

مثال 16.3

كثيرات الحدود في $z$ ، والدوال الكسرية خارج أقطابها، و — حسب مبرهنة الاشتقاق حدًّا حدًّا لمتسلسلات القوى في السنة الجامعية 2، وبرهانها يشتغل بالكيفية نفسها على $\C$ — كل مجموع لمتسلسلة قوى $\sum a_n(z - a)^n$ داخل قرص تقاربها: هولومورفية، ومشتقتها $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (بنصف القطر نفسه). وعلى وجه الخصوص تكون $\exp z = \sum z^n/n!$ صحيحة (هولومورفية على $\C$ ) مع $\exp' = \exp$ . ومن جهة أخرى فإن $z \mapsto \bar z$ و $\abs z$ و $\operatorname{Re}z$ ليست هولومورفية في أي مكان (إذ تخفق كوشي–ريمان في كل مكان): فالهولومورفية صرامةٌ تحفظ التوجيه والزوايا، لا نعومة.

16.2 تكاملات المسار

تعريف 16.4

المسار تطبيق $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ من الصنف $\mathcal C^1$ بالقطع؛ ويكون مغلقًا إذا كان $\gamma(a) = \gamma(b)$ . ومن أجل $f$ متصلة على صورة $\gamma$ :

\int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma)

(وهي متراجحة $ML$ ؛ والطول $= \int_a^b\abs{\gamma'}$ ). والتكامل صامد بإعادة الوسطنة المتزايدة من الصنف $\mathcal C^1$ ويغيّر إشارته بعكس التوجيه.

قضية 16.5 (الدوال الأصلية)

من أجل $f$ متصلة على $\Omega$ ، تتكافأ العبارات التالية: (أ) تقبل $f$ دالة أصلية $F \in \mathcal H(\Omega)$ ( $F' = f$ )؛ (ب) $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ من أجل كل مسار مغلق $\gamma$ في $\Omega$ . وفي تلك الحالة يكون $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ من أجل كل مسار.

برهان. (أ) $\Rightarrow$ : $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (بقاعدة السلسلة، وهي صحيحة بالقطع)، ومنه يتلسكب التكامل إلى فرق الطرفين؛ وتعطي المسارات المغلقة $0$ . (ب) $\Rightarrow$ (أ): نثبّت $z_*$ في مركّبة مترابطة، ونعرّف $F(z) = \int_{\gamma_z}f\,\dd z$ على امتداد أي مسار من $z_*$ إلى $z$ (وهو معرَّف جيدًا: إذ يختلف مساران بمسار مغلق)؛ ومن أجل $h$ صغير، بأخذ القطعة من $z$ إلى $z + h$ ،

\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0

بمتراجحة $ML$ وباتصال $f$ عند $z$ . ∎

تعريف 16.6 (عدد اللف)

من أجل مسار مغلق $\gamma$ ومن أجل $z \notin \operatorname{im}\gamma$ ، يكون الدليل

\operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} .

وهو عدد صحيح: فبوضع $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ ، يكون للدالة $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ مشتقة معدومة (بالقطع)، ومنه فهي ثابتة؛ وعند $t = b$ يكون $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$ ، ومنه $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$ . وبوصفه دالةً في $z$ ، يكون الدليل متصلًا على $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (بالتقارب المهيمن)، ومنه ثابتًا على كل مركّبة مترابطة، ومعدومًا على المركّبة غير المحدودة (بمتراجحة $ML$ : إذ يؤول التكامل إلى $0$ حين $z \to \infty$ ). ومن أجل الدائرة $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ ، $t \in \intcc0{2\pi}$ : أي $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ من أجل $z \in D(a,r)$ (بالحساب عند $z = a$ : $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ؛ ويتكفّل الثبات بالباقي).

16.3 مبرهنة كوشي

مبرهنة 16.7 (غورسا)

لتكن $f \in \mathcal H(\Omega)$ ولتكن $T \subseteq \Omega$ مثلثًا مصمتًا مغلقًا. عندئذٍ $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (بجريان الحافة مرة واحدة، بأي توجيه).

برهان. لتكن $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$ . يشطر وصلُ منتصفات الأضلاع المثلثَ $T$ إلى أربعة مثلثات نصفية الحجم $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$ ، وتتلاشى الحواف الداخلية مثنى مثنى: $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$ . ونختار من بينها $T_1$ الذي يحقق $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$ ، ونكرّر: فنجد متتالية متداخلة $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ تحقق

\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T).

والتقاطع $\bigcap T_n$ نقطةٌ واحدة $z_0$ (بالمتراصات المتداخلة ذات الأقطار المتلاشية، المبرهنة 6.13(3)). وأما القابلية للاشتقاق عند $z_0$ : فبإعطاء $\varepsilon$ ، ومن أجل $n$ كبير، على $T_n$ ،

f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n .

وللجزء التآلفي دالةٌ أصلية: ومنه ينعدم تكامله على الحافة المغلقة $\partial T_n$ (القضية 16.5)، فيبقى

\abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) .

وبالمقارنة مع $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$ : $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{ثابت}$ من أجل كل $\varepsilon$ : ومنه $I(T) = 0$ . ∎

مبرهنة 16.8 (مبرهنة كوشي، الصيغة النجمية)

لتكن $\Omega$ نجمية الشكل بالنسبة إلى $c$ (أي إن كل قطعة $[c, z]$ حيث $z \in \Omega$ تقع في $\Omega$ ) — مثل المحدّبة. عندئذٍ لكل $f \in \mathcal H(\Omega)$ دالةٌ أصلية على $\Omega$ ؛ ومن ثَمّ $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ من أجل كل مسار مغلق $\gamma$ في $\Omega$ .

برهان. نعرّف $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$ . ومن أجل $z, z + h \in \Omega$ مع $[z, z+h] \subseteq \Omega$ (وهو صحيح من أجل $h$ صغير)، يقع المثلث ذو الرؤوس $c, z, z+h$ في $\Omega$ (بالنجمية: إذ تقع كل نقطة منه على قطعة $[c, w]$ مع $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$ ): فتعطي غورسا

F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w,

ويعطي حساب نسبة الفرق في القضية 16.5 أن $F' = f$ . وينتج انعدام تكاملات المسارات المغلقة من القضية نفسها. ∎

مبرهنة 16.9 (صيغة كوشي التكاملية)

لتكن $f \in \mathcal H(\Omega)$ و $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ ، وليكن $C_r$ الدائرةَ $\partial D(a,r)$ مجراةً مرة واحدة عكس عقارب الساعة. عندئذٍ يكون من أجل كل $z \in D(a, r)$ :

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w .

برهان. نثبّت $z$ ونعرّف على $\Omega$

g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases}

فتكون $g$ متصلة على $\Omega$ وهولومورفية خارج $z$ . وتصح غورسا من أجل $g$ على كل مثلث $T \subseteq \Omega'$ ، حيث $\Omega'$ قرصٌ أكبر قليلًا من $\bar D(a,r)$ داخل $\Omega$ : فإذا كان $z \notin T$ ، فمباشرةً؛ وإذا كان $z \in T$ ، شطرنا $T$ إلى مثلثات صغيرة رأسُها $z$ مع مثلثات تتفادى $z$ ؛ وعلى مثلث رأسه $z$ يعطي حدّ $ML$ أن $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ حين يتقلّص المثلث، وتنعدم القطع الباقية بغورسا — ومنه $\int_{\partial T}g = 0$ في جميع الحالات. ولم يستعمل برهان المبرهنة 16.8 سوى خاصية المثلث هذه: فتقبل $g$ دالة أصلية على المحدّبة $\Omega'$ ، ومنه $\int_{C_r}g = 0$ ، أي

\frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) .

∎

16.4 التحليلية وسلسلتها المتتابعة

مبرهنة 16.10 (الهولومورفية $=$ التحليلية)

لتكن $f \in \mathcal H(\Omega)$ و $D(a, R) \subseteq \Omega$ . عندئذٍ

f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad \text{على} D(a, R), \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R),

والمعاملات لا تتعلق بنصف القطر $r$ . ومن ثَمّ تكون $f$ قابلة للاشتقاق بالمعنى $\C$ عددًا لانهائيًّا من المرات، و $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ ، وتصح تقديرات كوشي:

\abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} .

برهان. من أجل $\abs{z - a} < r$ : ننشر نواة كوشي في المتسلسلة الهندسية

\frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}},

المتقاربة تقاربًا ناظميًّا في $w$ على $C_r$ ( $\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$ ): ثم نكامل حدًّا حدًّا مقابل $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ (ويبرّر التقارب المنتظم التبديلَ) ونطبّق المبرهنة 16.9. ومتسلسلة القوى قابلة للاشتقاق عددًا لانهائيًّا من المرات مع $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (السنة الجامعية 2)، وهو يبيّن أيضًا أن $c_n$ لا تتعلق بنصف القطر $r$ . وأما التقديرات: فبحدّ تكامل المعامل بمتراجحة $ML$ . ∎

مثال 16.11 (الشذوذات تملي أنصاف الأقطار)

لماذا يكون لمتسلسلة تايلور للدالة الحقيقية البريئة $\frac1{1 + x^2}$ عند $x = 3$ تقاربٌ من أجل $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ فقط، مع أن شيئًا لا يعتلّ على المستقيم الحقيقي؟ لأن المبرهنة أعلاه تجعل نصف قطر التقارب عند $a$ مساويًا للمسافة من $a$ إلى أقرب نقطة تخفق عندها الهولومورفية. وهنا تكون $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ هولومورفية على $\C\setminus\{\pm\iu\}$ بالضبط، ومنه يتقارب النشر عند $a = 3$ على أكبر قرص يتفادى $\pm\iu$ ، ونصف قطره $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — ولا يمكن أن يتقارب على قرص أكبر، إذ كان المجموع سيمدّد $f$ هولومورفيًّا إلى جوار للنقطتين $\pm\iu$ حيث $\abs f \to \infty$ . فالنظرية الحقيقية ترى نصف القطر الغامض $\sqrt{10}$ ؛ والمستوي العقدي يرى قطبين. وهذه هي القاعدة العملية: لتجد نصف قطر تقارب، عيّن الشذوذات — فمثلًا لمتسلسلة تايلور للدالة $\tan$ عند $0$ نصفُ القطر $\frac\pi2$ (أي أقرب جذور $\cos$ )، وللدالة المولّدة لأعداد برنولي $\frac z{\eu^z - 1}$ (المسألة 16.1، الجزء السادس) نصفُ القطر $2\pi$ (أي أقرب جذور غير معدومة للمقدار $\eu^z - 1$ : $\pm2\iu\pi$ ).

نتيجة 16.12 (ليوفيل؛ دالمبير–غاوس)

كل دالة صحيحة محدودة ثابتة. ومن ثَمّ فلكل كثير حدود غير ثابت على $\C$ جذرٌ: أي إن $\C$ مغلق جبريًّا.

برهان. إذا كان $\abs f \leq M$ على $\C$ : فمن أجل كل $a$ و $r$ ، $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ : ومنه $f' \equiv 0$ ، وتكون $f$ ثابتة (على $\C$ المترابط: إذ المشتقة المعدومة تستلزم الثبات محليًّا — بالمكاملة على امتداد القطع). وإذا لم يقبل $P$ أي جذر، لكانت $1/P$ صحيحة ومحدودة ( $\abs{P(z)} \to \infty$ حين $\abs z \to \infty$ : إذ يهيمن الحدّ الرئيسي، ومنه يكون $\abs{1/P}$ صغيرًا خارج قرص كبير ومتصلًا على القرص المتراص): فتكون ثابتة — وهو محال من أجل $P$ غير ثابت. (وتعطي مسألة نهاية الأسبوع برهانًا ثانيًا ابتدائيًّا والنتائج الجبرية.) ∎

مبرهنة 16.13 (الجذور معزولة؛ مبرهنة التطابق)

لتكن $\Omega$ مترابطة ولتكن $f \in \mathcal H(\Omega)$ مع $f \not\equiv 0$ . عندئذٍ يكون لكل جذر $a$ للدالة $f$ رتبةٌ منتهية: $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ مع $g \in \mathcal H(\Omega)$ و $g(a) \neq 0$ ، وليس لجذور $f$ أي نقطة تراكم في $\Omega$ . ومن ثَمّ، إذا توافقت دالتان هولومورفيتان على $\Omega$ على مجموعة لها نقطة تراكم في $\Omega$ ، توافقتا في كل مكان.

برهان. لتكن $Z$ مجموعة النقاط التي تنعدم عندها جميع مشتقات $f$ . تكون $Z$ مغلقة (لأنها تقاطع مجموعات مغلقة) ومفتوحة: إذ إذا كانت جميع $c_n = 0$ عند $a$ ، جعل نشرُ متسلسلة القوى $f \equiv 0$ على قرص حول $a$ . وبالترابط: $Z = \varnothing$ أو $Z = \Omega$ ؛ والثانية مستبعدة بحكم $f \not\equiv 0$ . ومنه، عند جذر $a$ ، يكون معاملٌ ما غير معدوم: وليكن $m$ الأصغرَ الذي يحقق $c_m \neq 0$ ؛ عندئذٍ $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ على قرص، ويعرّف المجموع دالةً $g$ هولومورفية بجوار $a$ مع $g(a) = c_m \neq 0$ ؛ ونمدّد $g = f/(z-a)^m$ خارج $a$ (وهي هولومورفية هناك). وبما أن $g(a) \neq 0$ و $g$ متصلة، لا تقبل $f$ أي جذر آخر في جوار للنقطة $a$ : فالجذور معزولة، وليس لمجموعة نقاط معزولة أي نقطة تراكم في $\Omega$ (إذ نقطة تراكم للجذور جذرٌ — بالاتصال — ولن تكون معزولة). وأما التطابق: فبالتطبيق على الفرق، الذي لمجموعة جذوره نقطةُ تراكم، فيُدفع إلى الفرع $Z = \Omega$ . ∎

مبرهنة 16.14 (القيمة المتوسطة والطويلة العظمى)

لتكن $f \in \mathcal H(\Omega)$ .

(القيمة المتوسطة) من أجل $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ : $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ .
(مبدأ الأعظمية) إذا كانت $\Omega$ مترابطة وبلغت $\abs f$ قيمةً عظمى محلية عند نقطة ما من $\Omega$ ، فإن $f$ ثابتة. ومن ثَمّ، من أجل $\Omega$ محدودة و $f$ متصلة على $\bar\Omega$ : $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ .

برهان. (1) هي صيغة كوشي عند المركز: بوسطنة $C_r$ . (2) لنقل إن $\abs f \leq \abs{f(a)}$ على $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$ . إذا كان $f(a) = 0$ ، فإن $f \equiv 0$ بجوار $a$ . وإلا، فمن أجل $0 < r \leq \rho$ ، تعطي القيمة المتوسطة

\abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} :

وللمقدار المكامَل المتصل غير السالب $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ متوسطٌ معدوم، ومنه ينعدم: أي إن $\abs f$ ثابتة $= \abs{f(a)} \ne 0$ على القرص. ودالةٌ هولومورفية ذات طويلة ثابتة غير معدومة على قرص تكون ثابتة: فباشتقاق $P^2 + Q^2 = \text{ثابت}$ نجد $PP_x + QQ_x = 0$ و $PP_y + QQ_y = 0$ ؛ وبإدخال علاقتَي كوشي–ريمان $P_y = -Q_x$ و $Q_y = P_x$ في المعادلة الثانية نجد الجملة الخطية

P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0,

ومحددها $P^2 + Q^2 \neq 0$ : ومنه $P_x = Q_x = 0$ ، أي $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ على القرص: فتكون $f$ ثابتة هناك. وتنشر مبرهنة التطابق الثباتَ على $\Omega$ كله. وأما الصيغة الحدّية: فتبلغ $\abs f$ سوپريمومها على المتراصة $\bar\Omega$ ؛ وقيمةٌ عظمى داخلية تجعل $f$ ثابتة، ويكون السوپريموم مبلوغًا على الحافة في كل حالة. ∎

مبرهنة 16.15 (مبرهنة فايرشتراس في التقارب)

إذا تقاربت $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ إلى $f$ بانتظام على كل جزء متراص من $\Omega$ ، فإن $f \in \mathcal H(\Omega)$ و $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ بانتظام على المتراصات، من أجل كل $k$ .

برهان. تكون $f$ متصلة. ومن أجل أي مثلث مغلق $T \subseteq \Omega$ : $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (بالتقارب المنتظم على المتراصة $\partial T$ ؛ وبغورسا من أجل $f_n$ ). وبحجة المبرهنة 16.8، تقبل $f$ دوالًّا أصلية محلية (إذ الأقراص محدّبة؛ ولم تُستعمل سوى خاصية المثلث)، أي $f = F'$ محليًّا مع $F$ هولومورفية؛ و $F$ تحليلية (المبرهنة 16.10)، ومنه كذلك $f = F'$ : أي هولومورفية. (وهذه هي مبرهنة موريرا: أن الاتصال مع انعدام تكاملات المثلثات يستلزم الهولومورفية.) وأما المشتقات: فمن أجل $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ و $z \in \bar D(a, r)$ ، تعطي صيغة كوشي للمشتقات (بالاشتقاق تحت علامة التكامل في المبرهنة 16.9، أو باستعمال صيغة المعاملات)

\abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0

بانتظام على $\bar D(a,r)$ ؛ ثم نغطي متراصةً بعدد منتهٍ من الأقراص كهذه، ونكرّر من أجل $k$ الأعلى. ∎

صيغة كوشي: قيم دالة هولومورفية داخل قرص متوسطٌ موزون لقيمها على الدائرة الحادّة. وكل ما في الهولومورفية من صرامة — التحليلية، وليوفيل، ومبدأ الأعظمية — ينبسط من هذه المتطابقة الواحدة. — صيغة كوشي: قيم دالة هولومورفية *داخل* قرص متوسطٌ موزون لقيمها على الدائرة الحادّة. وكل ما في الهولومورفية من صرامة — التحليلية، وليوفيل، ومبدأ الأعظمية — ينبسط من هذه المتطابقة الواحدة.

طريقة 16.16

العدّة اليومية. لتبرهن على أن دالةً هولومورفية: أبرزها متسلسلةَ قوى، أو مركّبةً، أو نهايةً منتظمة محليًّا (المبرهنة 16.15)، أو تكاملًا بوسيط هولومورفي (التمرين 16.7 — بالاشتقاق تحت علامة $\int$ أو بتطبيق موريرا–فوبيني). ولتبرهن على متطابقات: أثبتها على قطعة أو مجال جزئي واستدعِ مبرهنة التطابق. ولتحدّ: تقديرات كوشي على أكبر دائرة متاحة. ولتبرهن على الثبات أو عدم الوجود: ليوفيل أو مبدأ الأعظمية. واعرف دائمًا أين تكون دالتك هولومورفية وأي الأقراص يسع $\Omega$ .

16.5 تمارين

تمرين 16.1 ★

(a) عند أي النقاط تكون $z \mapsto \bar z$ و $\abs z^2$ و $\operatorname{Re}z$ قابلةً للاشتقاق عقديًّا؟ وهولومورفية على مجموعة مفتوحة؟ (b) برهن على أن $P(x, y) = x^2 - y^2$ هي الجزء الحقيقي لدالة هولومورفية على $\C$ ، تُوجَد صراحةً، وعيّن جميع هذه الدوال.

حل

حل التمرين 16.1.

(a) $\bar z$ : $P = x$ و $Q = -y$ ، ومنه $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$ : فهي غير قابلة للاشتقاق بالمعنى $\C$ في أي مكان. و $\abs z^2$ : $P = x^2 + y^2$ و $Q = 0$ : فتطلب كوشي–ريمان $2x = 0 = 2y$ : أي قابلة للاشتقاق عند $0$ وحدها — وهولومورفية في لا مكان (إذ لا مجموعة مفتوحة). و $\operatorname{Re}z$ : $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$ : في لا مكان.

(b) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$ : فتصلح $f(z) = z^2$ . وأما جميع الحلول: فإذا كان $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ مع $f, g$ هولومورفيتين على $\C$ المترابط، فإن $h = f - g$ يحقق $\operatorname{Re}h = 0$ ؛ وتعطي كوشي–ريمان أن $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$ : أي إن $h$ ثابت تخيّلي. والجواب: $f(z) = z^2 + \iu c$ حيث $c \in \R$ .

تمرين 16.2 ★

احسب انطلاقًا من التعاريف: $\int_{C}z^n\,\dd z$ من أجل كل $n \in \Z$ ، حيث $C$ الدائرة الواحدية؛ و $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ على امتداد القطعة $[0, 1+\iu]$ وعلى امتداد المسار ذي القطعتين المارّ بالنقطة $1$ : واخلص إلى أن $\bar z$ لا تقبل أي دالة أصلية على أي جوار لهذين المسارين.

حل

حل التمرين 16.2.

على الدائرة الواحدية $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$ :

\int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases}

وأما من أجل $\bar z$ : فعلى امتداد $[0, 1+\iu]$ ، $\gamma(t) = t(1 + \iu)$ : $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$ . وعلى امتداد $0 \to 1 \to 1 + \iu$ : $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$ . فالقيمتان مختلفتان بين الطرفين نفسيهما: ومنه، حسب القضية 16.5، لا تقبل $\bar z$ أي دالة أصلية على أي مجموعة مفتوحة تحتوي المسارين معًا.

تمرين 16.3 ★★

(a) برهن على أن اللوغاريتم الرئيسي $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ( $\arg \in \intoo{-\pi}\pi$ ) هولومورفي على $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ومشتقته $\frac1z$ (فهو دالة أصلية للمقدار $\frac1z$ على المستوي المشقوق النجمي: المبرهنة 16.8؛ وثبّت الثابت). (b) برهن على أنه لا يوجد أي لوغاريتم متصل على $\C^*$ (أي العائق دون مشتقة: دليل الدائرة الواحدية). (c) انشر $\log(1 + z)$ في متسلسلة قوى على $D(0,1)$ .

حل

حل التمرين 16.3.

(a) المستوي المشقوق $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ نجمي الشكل بالنسبة إلى $1$ ، و $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$ : فتوفّر المبرهنة 16.8 دالةً أصلية $L$ تحقق $L(1) = 0$ . عندئذٍ $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$ : أي $z = c\,\eu^{L(z)}$ مع $c = 1$ (عند $z = 1$ ). وبكتابة $L = u + \iu v$ : يكون $\abs z = \eu^u$ و $z = \abs z\eu^{\iu v}$ مع $v$ متصلة و $v(1) = 0$ و $v \in \intoo{-\pi}\pi$ (إذ $v$ عمدةٌ متصلة للعدد $z$ على $\Omega$ المترابطة، ومنه تتفادى صورتها المضاعفات الفردية للعدد $\pi$ — إذ لا تقع أي نقطة من $\Omega$ على $\R_-$ — وبكونها تحتوي $v(1) = 0$ ، تبقى في $\intoo{-\pi}\pi$ : فتكون $v$ العمدةَ الرئيسية): ومنه $L = \log$ .

(b) لو كانت $g$ لوغاريتمًا متصلًا على $\C^*$ : لحققت $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ الشرطَ $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$ ، ومنه $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$ ، وبالاتصال $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ من أجل عدد صحيح ثابت $k$ . عندئذٍ $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ و $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$ : وهو تناقض.

(c) على $D(0,1)$ : $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — إذ ينعدم الطرفان عند $0$ ولهما المشتقة $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ (المثال 16.3)؛ والدالة الأصلية وحيدة إلى غاية ثابت على القرص المترابط.

تمرين 16.4 ★★

(a) لتكن $f$ صحيحة مع $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$ . برهن على أن $f$ كثير حدود درجته $\leq n$ (بتقديرات كوشي على دوائر كبيرة). (b) لتكن $f$ صحيحة مع $\operatorname{Re}f$ محدودًا من الأعلى. برهن على أن $f$ ثابتة (بالنظر في $\eu^{f}$ ). (c) استنتج «بيكار الصغرى من أجل التطبيقات التآلفية»: أن دالةً صحيحة تتجاهل نصف مستوٍ تكون ثابتة.

حل

حل التمرين 16.4.

(a) ننشر عند $0$ (بنصف قطر $\infty$ ): فبتقديرات كوشي على $C_r$ ، $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ حين $r \to \infty$ من أجل $k > n$ : ومنه $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$ .

(b) إذا كان $\operatorname{Re}f \leq M$ : فإن $g = \eu^f$ صحيحة مع $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : ومنه فهي ثابتة بليوفيل. عندئذٍ $g' = f'g = 0$ مع $g$ غير معدومة: أي $f' = 0$ ، وتكون $f$ ثابتة.

(c) إذا تجاهلت $f$ نصف المستوي $H$ ، أرسل تطبيق تآلفي $w \mapsto \alpha w + \beta$ المجموعةَ $\C\setminus H$ في $\{\operatorname{Re} \leq M\}$ ؛ ونطبّق (b) على $\alpha f + \beta$ .

تمرين 16.5 ★★

(a) لتكن $f$ هولومورفية على $\Omega \ni 0$ مترابطة مع $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ من أجل كل $n$ كبير. عيّن $f$ . (b) هل توجد دالة هولومورفية $f$ على $\C^*$ تحقق $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ من أجل كل $n \geq 1$ ؟ برّر. (c) أبرز دالتين هولومورفيتين متمايزتين على $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ تتوافقان على $D(0,1)$ : فأين تستعمل مبرهنة التطابق الترابطَ؟

حل

حل التمرين 16.5.

(a) ينعدم $g(z) = f(z) - z^2$ عند النقاط $\frac1n$ ، وهي تتراكم عند $0 \in \Omega$ : ومنه، بمبرهنة التطابق ( $\Omega$ مترابطة)، $g \equiv 0$ : أي $f(z) = z^2$ .

(b) نعم: فإن $f(z) = z\cos(\pi/z)$ هولومورفية على $\C^*$ (بالتركيب) و $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$ . ولا تناقض مع (a): إذ إن نقطة التراكم $0$ لعقد الاستيفاء لا تنتمي إلى $\C^*$ ، فتصمت مبرهنة التطابق — ويمكن لدالتين متمايزتين ( $z\cos(\pi/z)$ ، ولنقل واحدةً من استيفاء آخر) أن تتقاسما هذه القيم.

(c) $f \equiv 0$ في كل مكان، مقابل $g = 0$ على $D(0,1)$ و $g = 1$ على $D(3,1)$ : فهما هولومورفيتان على الاتحاد غير المترابط، ومتساويتان على $D(0,1)$ ، ومختلفتان. وتحتاج حجة المفتوح–المغلق في مبرهنة التطابق إلى الترابط لتنتشر من مركّبة إلى أخرى — ولا تستطيع.

تمرين 16.6 ★★

لتكن $f$ هولومورفية على القرص الواحدي المفتوح $\mathbb D$ ، ومتصلة على $\bar{\mathbb D}$ ، مع $\abs f \equiv 1$ على الدائرة الحادّة. (a) إذا لم تقبل $f$ أي جذر في $\mathbb D$ ، برهن على أن $f$ ثابتة (بتطبيق مبدأ الأعظمية على $f$ وعلى $1/f$ ). (b) أعطِ مثالًا بجذر لا تكون فيه $f$ ثابتة.

حل

حل التمرين 16.6.

(a) بتطبيق مبدأ الأعظمية على المجال المحدود: $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$ . وبما أن $f$ لا تقبل جذورًا، تكون $1/f$ هولومورفية على $\mathbb D$ ومتصلة على الغلق، بطويلة حدّية $1$ : ومنه بالمثل $\abs{1/f} \leq 1$ ، أي $\abs f \geq 1$ . ومنه $\abs f \equiv 1$ : فتبلغ الطويلة قيمةً عظمى داخلية، وتفرض المبرهنة 16.14(2) أن تكون $f$ ثابتة.

(b) $f(z) = z$ : طويلتها الحدّية $1$ ، ولها جذر عند المبدأ، وهي غير ثابتة — والجذر هو بالضبط ما يسدّ حجة $1/f$ .

تمرين 16.7 ★★

(الهولومورفية تحت علامة التكامل) ليكن $\mu$ قياسًا منتهيًا على فضاء $X$ ولتكن $g \colon X\times\Omega \to \C$ بحيث: $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ من أجل كل $x$ ، و $g$ قابلة للقياس في $x$ ، و $\abs g \leq h(x)$ مع $h$ قابلة للمكاملة، بانتظام محليًّا في $z$ . برهن على أن $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ هولومورفية على $\Omega$ . (بموريرا: إذ تنعدم تكاملات المثلثات بفوبيني وغورسا؛ والاتصال بالتقارب المهيمن. ثم طبّق ذلك على $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ على $\{\operatorname{Re}z > 0\}$ .)

حل

حل التمرين 16.7.

اتصال $G$ : بالتقارب المهيمن بالمهيمِن $h$ (بالحد المنتظم محليًّا). وأما الهولومورفية فبموريرا (المثبَتة داخل المبرهنة 16.15): فمن أجل مثلث مغلق $T$ في قرص يكون فيه $\abs g \leq h$ ،

\int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0,

والتبديل بفوبيني ( $\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$ ) والانعدام الداخلي بغورسا. وأما من أجل $\Gamma$ : فعلى الشريط $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ (حيث $0 < a \leq b$ )، $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$ ، وهو قابل للمكاملة على $\intoo0{+\infty}$ : ومنه تكون $\Gamma$ هولومورفية على $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ (والقياس منتهٍ من النمط $\sigma$ فحسب، لكن الحجة لا تحتاج إلا إلى المهيمِن القابل للمكاملة). وبمبرهنة التطابق، تصح المعادلة الدالية $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$ ، المبرهَن عليها على $\intoo0{+\infty}$ (المثال 10.16)، على نصف المستوي كله.

تمرين 16.8 ★★★

(غاوس–لوكاس) ليكن $P \in \C[X]$ غير ثابت. برهن على أن كل جذر للمقدار $P'$ يقع في الغلاف المحدّب لجذور $P$ . (اكتب $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ عند جذر $z$ للمقدار $P'$ ليس جذرًا للمقدار $P$ ، وخذ المرافقات، واقرأ تركيبةً محدّبة.) ووضّح ذلك على $P = z^3 - 1$ .

حل

حل التمرين 16.8.

نكتب $P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ (المسألة 16.1). وليكن $P'(z) = 0$ . فإذا كان $P(z) = 0$ ، كان $z$ أحد الأعداد $a_k$ : أي في الغلاف. وإلا، فإن المشتقة اللوغاريتمية تعطي

0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ;

وبالمرافقة، $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ مع $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$ : ومنه $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$ ، وهي تركيبة محدّبة للجذور. ومن أجل $P = z^3 - 1$ : الجذور هي جذور الوحدة التكعيبية، و $P' = 3z^2$ بجذر مضاعف $0$ — أي مركز ثقل المثلث المتساوي الأضلاع.

تمرين 16.9 ★★★

لتكن $f$ صحيحة ومزدوجة الدورية: $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ من أجل كل $z$ . برهن على أن $f$ ثابتة. (حُدّ $f$ على المربّع الأساسي المتراص، ثم في كل مكان؛ وليوفيل.) والعبرة: أن الدوال الإهليلجية غير الثابتة يجب أن تكون لها أقطاب — وهو موضوع الفصل 17.

حل

حل التمرين 16.9.

المربّع الواحدي المغلق $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ متراص: ومنه $M = \sup_K\abs f < \infty$ . وكل $z \in \C$ يختلف عن نقطة من $K$ بعنصر من $\Z + \iu\Z$ (بطرح الأجزاء الصحيحة)، و $f$ صامدة بتلك الانسحابات (بتكرار العلاقتين): ومنه $\abs f \leq M$ على $\C$ . وبليوفيل: تكون $f$ ثابتة. ومن ثَمّ فكل دالة مرومورفية غير ثابتة مزدوجة الدورية — أي الدوال الإهليلجية في النظرية الكلاسيكية — يجب أن تكون لها أقطاب.

تمرين 16.10 ★★

(a) برهن على أن $P = \operatorname{Re}f$ لدالة هولومورفية $f$ يحقق خاصية القيمة المتوسطة $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ وأنه توافقي: $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (باشتقاق كوشي–ريمان؛ وباستعمال المبرهنة 16.10 للنعومة اللازمة). (b) استنتج مبدأ الأعظمية من أجل الأجزاء الحقيقية للدوال الهولومورفية على مجالات محدودة.

حل

حل التمرين 16.10.

(a) نأخذ الأجزاء الحقيقية في صيغة القيمة المتوسطة (المبرهنة 16.14(1)). وأما النعومة: فإن $f$ تحليلية، ومنه $P, Q \in \mathcal C^\infty$ ؛ وباشتقاق كوشي–ريمان: $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (بتناظر شوارتز للمشتقات الثانية): أي $\Delta P = 0$ .

(b) لو بلغ $\operatorname{Re}f$ قيمةً عظمى داخلية على $\Omega$ مترابطة: لبلغ المقدار $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ للدالة $g = \eu^f$ قيمةً عظمى داخلية، ومنه تكون $g$ ، ومن ثَمّ $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$ ، ثابتة (المبرهنة 16.14(2)). وعلى مجال محدود مع الاتصال حتى الحافة، $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$ .

تمرين 16.11 ★★★

(انعكاس شوارتز) لتكن $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$ و $I = \intoo{-1}1$ ، ولتكن $f$ هولومورفية على $\Omega^+$ ، ومتصلة على $\Omega^+\cup I$ ، وذات قيم حقيقية على $I$ . نعرّف

F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases}

(a) برهن على أن $F$ معرَّفة جيدًا ومتصلة على $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ ، وهولومورفية على $\Omega^\pm$ (من أجل $\Omega^-$ : تحقق من كوشي–ريمان من أجل $\overline{f(\bar z)}$ ، أو انشر $f$ في متسلسلات قوى محلية وارفق المعاملات). (b) برهن على أن $F$ هولومورفية على $\Omega$ كله بمحك موريرا: أي $\int_{\partial T}F = 0$ من أجل كل مثلث $T \subseteq \Omega$ (اشطر المثلثات عند $I$ وادفع أضلاعها الأفقية عن المحور بمقدار $\varepsilon$ ، باستعمال الاتصال المنتظم). (c) استنتج: أن دالةً هولومورفية على القرص، حقيقيةً على قطر، تحقق $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ ؛ وأن دالةً هولومورفية غير ثابتة لا يمكن أن تكون ذات قيم حقيقية على أي جزء مفتوح غير خالٍ من مجالها (المترابط).

حل

حل التمرين 16.11.

(a) تتوافق الصيغتان على $I$ (إذ $z = \bar z$ و $f$ حقيقية هناك: $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$ )، ويكون $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ متصلًا على $\Omega^-\cup I$ بوصفه تركيبةً لتطبيقات متصلة: ومنه $F$ متصلة على $\Omega$ . وأما الهولومورفية على $\Omega^-$ : فبجوار $z_0 \in \Omega^-$ ، ننشر $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ بجوار $\bar z_0 \in \Omega^+$ ؛ عندئذٍ

\overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n,

وهي متسلسلة قوى متقاربة: أي هولومورفية.

(b) المثلثات التي تتفادى $I$ تعالجها غورسا في $\Omega^\pm$ . وأما مثلث يقاطع $I$ ، فنقصّه بالمحور الحقيقي إلى ثلاثة مثلثات أو رباعيات على الأكثر، لكلٍّ منها ضلع على $I$ ؛ ومن أجل قطعة كهذه $P$ محتواة، ولنقل، في $\overline{\Omega^+}$ ، يكون تكامل المسار نهايةَ التكامل على المنسحبات من نمط $P + \iu \varepsilon$ حين $\varepsilon \to 0^+$ (إذ يجعل الاتصال المنتظم للدالة $F$ على القطعة المتراصة تكاملاتِ الحافة متقاربة، والضلع الذي على $I$ مقتربًا إليه من الأعلى)، ويقع كل منسحب في $\Omega^+$ حيث تعطي غورسا $0$ . وبجمع القطع: $\int_{\partial T}F = 0$ . وبموريرا (أي المحك داخل المبرهنة 16.15): تكون $F$ هولومورفية على $\Omega$ .

(c) على القرص، يكون $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ هولومورفيًّا بحساب (a) ويوافق $f$ على القطر، وهي مجموعة لها نقاط تراكم: ومنه $G = f$ في كل مكان (بمبرهنة التطابق). ولو كانت $f$ حقيقية على مجموعة مفتوحة غير خالية $U$ : لانعدمت على $U$ مشتقتا $Q = \operatorname{Im}f$ الجزئيتان، ولنقلت كوشي–ريمان ذلك إلى $P = \operatorname{Re}f$ ( $P_x = Q_y = 0$ و $P_y = -Q_x = 0$ )، ومنه $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ على $U$ : فتكون $f$ ثابتة على $U$ ، ومن ثَمّ في كل مكان بمبرهنة التطابق ( $\Omega$ مترابطة).

تمرين 16.12 ★★

(معادلة فيثاغورس العقدية) جد جميع أزواج الدوال الصحيحة التي تحقق $f^2 + g^2 = 1$ . (a) برهن على أن $h = f + \iu g$ صحيحة وعديمة الجذور، وعلى أن كل دالة صحيحة عديمة الجذور هي $\eu^{\varphi}$ من أجل $\varphi$ صحيحة ما (إذ $h'/h$ صحيحة، ومنه لها دالة أصلية على $\C$ النجمي؛ اضبط الثابت وبرهن على أن $h\eu^{-\varphi}$ ثابتة). (b) اخلص إلى $f = \cos\varphi$ و $g = \sin\varphi$ مع $\varphi$ صحيحة، وتحقق من العكس. وما الحلول الصحيحة للمعادلة $f^2 + g^2 = 0$ ؟

حل

حل التمرين 16.12.

(a) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$ ، ومنه لا ينعدم $h = f + \iu g$ أبدًا (إذ كان عامله المرافق سينفجر). وأما من أجل $h$ صحيحة عديمة الجذور: فإن $h'/h$ صحيحة، و $\C$ نجمي الشكل، ومنه لها دالة أصلية $\varphi_0$ (المبرهنة 16.8)؛ عندئذٍ $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$ : أي $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ مع $c \neq 0$ ، وبامتصاص ثابت $\log c$ في $\varphi = \varphi_0 + \log c$ (بأي لوغاريتم عقدي للعدد $c$ ): $h = \eu^{\varphi}$ .

(b) مع $h = \eu^{\varphi}$ و $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$ :

f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} .

وبكتابة $\varphi = \iu\psi$ مع $\psi = -\iu\varphi$ صحيحة، تُقرأ هذه على الصورة $f = \cos\psi$ و $g = \sin\psi$ : فتكون الحلول الصحيحة بالضبط الأزواج $(\cos\psi, \sin\psi)$ مع $\psi$ صحيحة، والعكس هو المتطابقة $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . وأما من أجل $f^2 + g^2 = 0$ : فإن $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ في الحلقة التامة $\mathcal H(\C)$ ( لأن $\C$ مترابط: إذ كانت قواسم الصفر ستخرق مبرهنة التطابق): أي $g = \pm\iu f$ مع $f$ صحيحة كيفية.

16.6 مسألة: المبرهنة الأساسية في الجبر، مرتين

مسألة 16.1

مسألة نهاية الأسبوع — $\C$ مغلق جبريًّا: برهان دالمبير، وبرهان ليوفيل، والحصاد

ليكن $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$ مع $n \geq 1$ . نبرهن مرتين على أن $P$ يقبل جذرًا، ثم نجمع ما ينتظره الجبر منذ الفصل 4.

الجزء الأول — القسرية والأصغرية.

برهن على أن $\abs{P(z)} \to +\infty$ حين $\abs z \to \infty$ : وبالضبط، $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ من أجل $\abs z \geq R_0$ مناسبين.
استنتج أن $\abs P$ تبلغ قيمةً صغرى شاملة على $\C$ : أي يوجد $z_0$ يحقق $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ (بتراص قرص مغلق كبير، النتيجة 6.17).

الجزء الثاني — هبوط دالمبير. لنفترض، للتناقض، أن $P(z_0) \neq 0$ .

انشر $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ بوصفه كثير حدود في $h$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ مع $c_k \neq 0$ حيث $k \geq 1$ و $S$ كثير حدود.
اختر اتجاه الهبوط: من أجل $t > 0$ صغير، ضع $h = t\,\omega$ حيث $\omega^k = -1/c_k$ (ولماذا يوجد $\omega$ كهذا؟ — برهن على وجود الجذور من الرتبة $k$ لأي عدد عقدي عبر الصيغة القطبية، مستقلًّا عن المبرهنة المبرهَن عليها). برهن على

$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$

من أجل $t$ صغير، بثابت $C$ صريح.
اخلص إلى $\abs{Q(t\omega)} < 1$ من أجل $t$ صغير — وهو يناقض أصغرية $\abs{P(z_0)}$ . ومنه $P(z_0) = 0$ : أي إن لكل كثير حدود عقدي غير ثابت جذرًا (دالمبير–أرغان).

الجزء الثالث — سطر ليوفيل الواحد، كاملًا.

اكتب بعناية برهان النتيجة 16.12: إذا لم يقبل $P$ أي جذر، تحقق من أن $1/P$ صحيحة ومحدودة (وكمِّم ذلك، باستعمال السؤال 1)، ومنه ثابتة، واخلص. وقارن البرهانين: أي المكوّنات يستعمل كلٌّ منهما؟ (فالتراص يظهر في كليهما — وأين؟)

الجزء الرابع — الحصاد.

برهن على أن كل $P \in \C[X]$ من الدرجة $n$ ينشطر: $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ مع $\sum m_i = n$ (بالتراجع، وبالقسمة الإقليدية على $(X - \alpha)$ ).
برهن على أن كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال في $\R[X]$ هي الخطية والتربيعية ذات المميِّز السالب (بمزاوجة الجذور المرافقة)؛ واستنتج أن لكل كثير حدود حقيقي من درجة فردية جذرًا حقيقيًّا، وأعطِ برهانًا ثانيًا ترتيبيًّا على تلك الحقيقة الأخيرة (بمبرهنة القيم الوسطى) — متحققًا من توافقهما على $X^3 - X - 1$ .
استنتج الديون التي يمكن لهذا الكتاب أن يسدّدها الآن: (أ) أن لكل تشاكل داخلي لفضاء متجهي غير معدوم منتهي البُعد على $\C$ قيمةً ذاتية، ومنه لكل مصفوفة عقدية صيغةُ جوردان (المبرهنة 3.18)؛ (ب) وأن الحقل $\bar\Q$ للأعداد الجبرية المستعمَل في الملاحظة 4.10 هو فعلًا غلق جبري للحقل $\Q$ .
(الخاتمة) عيّن بالضبط أين كان كل برهان سينكسر على حقل مثل $\Q(\iu)$ : أي الخطوات تستعمل وجود الجذور من الرتبة $k$ (السؤال 4)، وأيها تستعمل التراص أو التمام (السؤالان 2 و6)؟ واخلص في خمسة أسطر: أن المبرهنة تحليلية فعلًا — إذ يستدعي كل برهان في موضع ما تمامَ $\R$ أو ترابطه — مع أن عبارتها جبرية محضة.

الجزء الخامس — سلّم صرامة الدوال الصحيحة. ليوفيل أول درجة في سلّم؛ ونصعده.

(تقديرات كوشي) انطلاقًا من صيغة كوشي على دائرة نصف قطرها $r$ حول $a$ ، برهن على

$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$

واستعد ليوفيل بوصفها الحالة $n = 1$ مع $r \to \infty$ .
(النمو الحدودي) برهن على أن دالةً صحيحة $f$ تحقق $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ من أجل كل $z$ هي كثير حدود درجته $\leq m$ (بإلغاء معاملات تايلور وراء $m$ بالسؤال 11).
(الجزء الحقيقي المحدود) برهن على أن دالةً صحيحة $f$ يكون $\operatorname{Re}f$ محدودًا من الأعلى تكون ثابتة (بتطبيق ليوفيل على $\eu^{f}$ ).
(ازدواج الدورية) لتكن $f$ صحيحة مع $f(z + 1) = f(z)$ و $f(z + \iu) = f(z)$ من أجل كل $z$ . برهن على أن $f$ ثابتة. واخلص: أن دالةً «إهليلجية» غير ثابتة يجب أن تكون لها شذوذات — وهو السبب التاريخي لدخول الأقطاب في التحليل العقدي.
(المجال الكثيف) برهن على أن مجال دالة صحيحة غير ثابتة كثيفٌ في $\C$ : فإذا تجاهلت $f(\C)$ قرصًا $D(a, r)$ ، كانت $\frac1{f - a}$ صحيحة ومحدودة. (وقد برهن بيكار على أن المجال لا يتجاهل أكثر من نقطة واحدة؛ والكثافة هي المستوى الذي تبلغه أدواتنا.)
(السويّة $\Rightarrow$ كثير حدود) لنفترض أن $f$ صحيحة وأن $\abs{f(z)} \to \infty$ حين $\abs z \to \infty$ . برهن على: أن جذور $f$ منتهية العدد ( $z_1, \dots, z_p$ ، بترافقات $m_i$ )؛ وأن خارج القسمة $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ صحيح وعديم الجذور؛ وأن $1/g$ ذو نمو حدودي، ومنه (بالسؤال 12) كثير حدود، وهو بالضرورة ثابت (لأنه عديم الجذور)؛ واخلص إلى أن $f$ كثير حدود. ومنه فإن كثيرات الحدود هي بالضبط الدوال السويّة بين الدوال الصحيحة — إذ تخفق $\eu^z$ في السويّة على امتداد $\R_-$ .

الجزء السادس — الظلال التوافقية وقيمة غاوس المتوسطة.

لتكن $f = u + \iu v$ هولومورفية على مجموعة مفتوحة. تحقق من أن $u = \operatorname{Re}f$ يحقق خاصية القيمة المتوسطة

$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$

(بأخذ الجزء الحقيقي من صيغة كوشي)، واستنتج مبدأ الأعظمية من أجل $u$ على مجال محدود، ببرهان الترابط نفسه كما من أجل $\abs f$ .
(قيمة غاوس المتوسطة) من أجل $a \in \C$ و $r > 0$ مع $\abs a \neq r$ ، برهن على

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$

(إذا كان $\abs a > r$ : فإن $z \mapsto \log\abs{a - z}$ هو الجزء الحقيقي للوغاريتم هولومورفي على جوار للقرص المغلق — ولماذا يوجد واحد؟ — ومنه ينطبق السؤال 17؛ وإذا كان $\abs a < r$ : فحلّل $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ واستعمل الحالة الأولى من جديد).
(قياس ماهلر) من أجل $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$ ، استنتج صيغة ينسن من أجل كثيرات الحدود:

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$

أي إن الوسط الهندسي للمقدار $\abs P$ على الدائرة الواحدية يقرأ الجذور الواقعة خارج القرص. وتحقق من ذلك على $P = X^2 - X$ وعلى $P = 2X - 1$ .
(أعداد برنولي) نعرّف المعاملات $B_n$ بالعلاقة $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ بجوار $0$ (ولماذا يكون الطرف الأيسر تحليليًّا عند $0$ ؟). استنبط العلاقة التراجعية $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ (حيث $n \geq 1$ ) من $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ ، واحسب $B_0, \dots, B_6$ ، وبرهن على أن $B_{2k+1} = 0$ من أجل $k \geq 1$ (إذ الدالة $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ زوجية). وستسعّر هذه الأعداد كل $\zeta(2k)$ في الفصل 17.
(الحقيقية) برهن على أن دالةً صحيحة تأخذ قيمًا حقيقية على $\R$ تحقق $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ في كل مكان (بمقارنة معاملات تايلور عند $0$ ، أو بتطبيق مبرهنة التطابق على $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ )؛ واستنتج من جديد أن الجذور غير الحقيقية لكثيرات الحدود الحقيقية تأتي أزواجًا مرافقة (أي مزاوجة السؤال 8، مبرهَنًا عليها تحليليًّا).
(العبرة) ركّب سلّم الصرامة: المحدودة $\Rightarrow$ ثابتة؛ والمحدودة حدوديًّا $\Rightarrow$ كثير حدود؛ والسويّة $\Rightarrow$ كثير حدود؛ والتي تتجاهل قرصًا $\Rightarrow$ ثابتة؛ ومزدوجة الدورية $\Rightarrow$ ثابتة. وقابل ذلك في فقرة قصيرة بالدوال الحقيقية من الصنف $\mathcal C^\infty$ (دوال النتوء، المبرهنة 12.9): لماذا تفرض الهولومورفية، وهي شرط محلي محض، قانونًا ونظامًا شاملَين؟

الجزء السابع — الحصاد الأخير.

(متراجحة لانداو) من أجل $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$ ، برهن على القيمة المتوسطة $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ (بتعامد المقادير $\eu^{\iu k\theta}$ )، ثم، باستعمال الحدّ النقطي $\log t \leq t - 1$ لمقارنة متوسطَي $\log\abs P^2$ و $\abs P^2$ ، استنتج من السؤال 19 أن

$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$

أي إن جداء الجذور الواقعة خارج القرص الواحدي محكومٌ بحجم المعاملات بالمعنى $\ell^2$ (وعالج الجذور الواقعة على الدائرة بتطبيق المتراجحة على $P(rX)$ ثم بجعل $r \to 1$ ). وتحقق من ذلك على $X^2 - X$ .
(أعداد برنولي تنمو مضروبيًّا) برهن على أن نصف قطر تقارب $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ هو بالضبط $2\pi$ : فهو لا يقل عن $2\pi$ لأن $z/(\eu^z - 1)$ تمتدّ هولومورفيًّا إلى $D(0, 2\pi)$ ، ولا يزيد على $2\pi$ لأن المجموع كان سيبقى وإلا محدودًا بجوار $2\pi\iu$ حيث $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$ . واستنتج

$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$

أي إن أعداد برنولي تنمو مضروبيًّا. ومسلِّمًا بالمقدار $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ (أي العلاقة التراجعية في السؤال 20، مجراةً أبعد)، قارن $\abs{B_{12}} \approx 0.25311$ بالتنبؤ الأدق $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ عند $k = 6$ — أي أربعة أرقام متطابقة لقانون مقارب سيبرهن عليه الفصل 17 بالضبط، عبر $\zeta(2k)$ .
(الجذور تتحرك اتصاليًّا) لتكن $(P_j)$ موحَّدة من الدرجة $n$ بمعاملات تتقارب إلى معاملات $P$ (الموحَّد). برهن على حدّ كوشي: أن كل جذر لكثير حدود موحَّد $Q = X^n + \sum_{k<n}q_kX^k$ يحقق $\abs\alpha \leq 1 + \max_k\abs{q_k}$ ؛ واستنتج أن جذور $P_j$ تبقى في مجموعة متراصة ثابتة، وأنه، باستخراج متتاليات جزئية متقاربة من متجهات الجذور والمرور إلى النهاية في تحليل السؤال 7، تتقارب متعددات مجموعات جذور $P_j$ إلى مجموعة جذور $P$ . وبرهن أخيرًا على أن الاتصال أقصى ما يمكن قوله: فمن أجل $P_\varepsilon = X^2 - 2X + 1 + \varepsilon$ ، يحرّك اضطرابٌ حجمه $\varepsilon = 10^{-4}$ الجذرَ المضاعف $1$ بمقدار $10^{-2}$ — أي أُسّ هولدر $\frac1m$ عند جذر من الترافق $m$ ، ولا ليبشيتزية أبدًا: فعدديًّا، تكلّف الجذور المضاعفة نصف الأرقام.

حل

حل المسألة 16.1.

1. من أجل $\abs z \geq 1$ :

\abs{P(z)} \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{\abs{a_{n-1}}}{\abs z} - \dots - \frac{\abs{a_0}}{\abs z^n}\Bigr) \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{A}{\abs z}\Bigr), \qquad A = \sum_k\abs{a_k} :

من أجل $\abs z \geq R_0 = \max(1, 2A)$ ، $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n \to \infty$ .

2. نختار $R \geq R_0$ يحقق $\frac12R^n \geq \abs{P(0)}$ . وعلى المتراصة $\bar D(0, R)$ تبلغ $\abs P$ المتصلة قيمةً صغرى عند $z_0$ ما؛ وخارجها، $\abs P \geq \frac12R^n \geq \abs{P(0)} \geq \abs{P(z_0)}$ : فتكون الصغرى شاملة.

3. المقدار $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ كثير حدود في $h$ يحقق $Q(0) = 1$ ؛ وهو غير ثابت (لأن $P$ كذلك)، ومنه يكون معاملٌ ما وراء الثابت غير معدوم: $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ مع $k \geq 1$ أصغريًّا و $c_k \neq 0$ و $S \in \C[X]$ .

4. الجذور: لكل $w = \rho\eu^{\iu\varphi} \neq 0$ الجذرُ من الرتبة $k$ $\rho^{1/k}\eu^{\iu\varphi/k}$ ، حيث يوجد $\rho^{1/k}$ بمبرهنة القيم الوسطى مطبَّقةً على $t \mapsto t^k$ على $\intco0\infty$ — فلا دورية. ونختار $\omega$ يحقق $\omega^k = -1/c_k$ . عندئذٍ

Q(t\omega) = 1 - t^k + t^{k+1}\,\omega^{k+1}S(t\omega), \qquad \abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1} \quad (0 < t \leq 1),

مع $C = \abs\omega^{k+1}\sup_{\abs h \leq \abs\omega}\abs{S(h)}$ (ولاحظ أن $1 - t^k \geq 0$ على $\intcc01$ ).

5. من أجل $0 < t < \min(1, 1/C)$ : $\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k(1 - Ct) < 1$ ، أي $\abs{P(z_0 + t\omega)} < \abs{P(z_0)}$ — وهو يناقض الأصغرية الشاملة. ومنه $P(z_0) = 0$ : فيكتمل برهان دالمبير–أرغان.

6. صيغة ليوفيل: إذا لم ينعدم $P$ أبدًا، كانت $1/P$ صحيحة؛ وحسب السؤال 1، $\abs{1/P} \leq 2R_0^{-n}$ خارج $\bar D(0, R_0)$ ، و $1/P$ متصلة على ذلك القرص المتراص، ومنه محدودة هناك أيضًا: أي صحيحة محدودة، ومنه ثابتة (النتيجة 16.12)، فيكون $P$ ثابتًا: وهو محال. وأما المكوّنات: فيستعمل دالمبير التراصَ (لوجود الأصغرية) ووجودَ الجذور من الرتبة $k$ بالصيغة القطبية؛ ويستعمل ليوفيل جهاز كوشي كله (غورسا — وهو نفسه حجة متراصات متداخلة — وتقديرات كوشي) مع القسرية نفسها. وتراص الأقراص المغلقة هو النواة المشتركة غير القابلة للاختزال.

7. إذا كان $\deg P \geq 1$ ، اخترنا جذرًا $\alpha$ (السؤال 5)؛ ونقسم: $P = (X - \alpha)Q + P(\alpha) = (X - \alpha)Q$ مع $\deg Q = n - 1$ ؛ ثم نتراجع. وبتجميع العوامل المتساوية: $P = c\prod_i(X - \alpha_i)^{m_i}$ مع $\sum m_i = n$ .

8. من أجل $P$ حقيقي: $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ ، وتتوافق الترافقات (بمرافقة التحليل): فتأتي الجذور غير الحقيقية أزواجًا، مسهمةً بالمقدار $(X - \alpha)(X - \bar\alpha) = X^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha)X + \abs\alpha^2$ ، وهو كثير حدود تربيعي حقيقي مميِّزه $< 0$ . ومنه تنتج قائمة غير القابلة للاختزال المذكورة، ويجب أن يكون لكثير حدود حقيقي من درجة فردية، وله عدد زوجي من الجذور غير الحقيقية، جذرٌ حقيقي. وأما البرهان المباشر: فإن $P(x) \to \pm\infty$ حين $x \to \pm\infty$ (بدرجة فردية ومعامل رئيسي موجب مثلًا)، ومنه يغيّر $P$ إشارته، فتنطبق مبرهنة القيم الوسطى. ومن أجل $X^3 - X - 1$ : تعطي الحجتان الجذرَ الحقيقي الوحيد $\approx 1.3247$ (وزوجًا مرافقًا).

9. (أ) كثير الحدود $\chi_u \in \C[X]$ غير ثابت: فله جذر $\lambda$ ، ويعطي $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ متجهةً ذاتية؛ ثم تنطبق آلة القواسم الأوّلية في المبرهنة 3.18 على أي مصفوفة عقدية، إذ ينشطر $\chi$ دائمًا. (ب) ليكن $P \in \bar\Q[X]$ غير ثابت. فبوصفه كثير حدود على $\C$ له جذر $z \in \C$ ؛ و $z$ جبري على $\bar\Q$ ، ومنه على $\Q$ بالتعدّي (النتيجة 4.5)، أي $z \in \bar\Q$ : فلكل كثير حدود غير ثابت على $\bar\Q$ جذرٌ في $\bar\Q$ .

10. على $\Q(\iu)$ ، يخفق السؤال 4 أصلًا: إذ قد لا توجد الجذور من الرتبة $k$ (فلا $\sqrt2$ )، وحتى بتسليم الجذور، يخفق السؤال 2 — إذ قد لا تتقارب متتالية مصغِّرة، لأن $\Q$ يفتقر إلى التمام؛ وفي طريق ليوفيل، تكون لمثلثات غورسا المتراصة المتداخلة تقاطعٌ خالٍ على نقاط $\Q(\iu)$ . فيستهلك البرهانان تمامَ $\R$ (أو، بالتكافؤ، عبر تقارب المتتاليات الرتيبة المحدودة، تمامَه الترتيبي)؛ ويشغّل الترابط مبرهنة القيم الوسطى وراء الصيغة القطبية. فالعبارة « $\C$ مغلق جبريًّا» جبرٌ؛ وكل برهان معروف عليها تحليلٌ مهرَّب عبر تعريف $\R$ .

11. حسب المبرهنة 16.10 عند $a$ ، $f^{(n)}(a) = n!\,c_n$ مع

c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w, \qquad \abs{c_n} \leq \frac{2\pi r}{2\pi}\cdot \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n+1}} = \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n}} :

أي تقديرات كوشي، في الصورة المعروضة بعد الضرب في $n!$ . وإذا كان $\abs f \leq M$ على $\C$ : فمن أجل كل $a$ وكل $r$ ، $\abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ حين $r \to \infty$ ، ومنه $f' \equiv 0$ وتكون $f$ ثابتة على $\C$ المترابط — أي ليوفيل مستعادةً.

12. ننشر $f = \sum_kc_kz^k$ عند $0$ (بنصف قطر $\infty$ ). ومن أجل $k > m$ : $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ حين $r \to \infty$ ، ومنه $c_k = 0$ : أي إن $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ كثير حدود درجته على الأكثر $m$ .

13. $g = \eu^f$ صحيحة مع $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : ومنه فهي ثابتة حسب السؤال 11. عندئذٍ $0 = g' = f'g$ مع $g$ عديمة الجذور: أي $f' = 0$ وتكون $f$ ثابتة.

14. ليكن $M = \sup_K\abs f$ على المربّع الواحدي المغلق المتراص $K$ . فكل $z$ يختلف عن نقطة من $K$ بعنصر من $\Z + \iu\Z$ (بطرح الأجزاء الصحيحة)، ويترك تكرارُ علاقتَي الدورية $f$ دون تغيير: ومنه $\abs f \leq M$ على $\C$ كله، ويجعل السؤال 11 الدالةَ $f$ ثابتة. فدالةٌ غير ثابتة صامدة بالشبكة لا يمكن أن تكون صحيحة: أي إن الدوال الإهليلجية في النظرية الكلاسيكية يجب أن تحمل أقطابًا — وهي البوابة التاريخية إلى الفصل 17.

15. إذا تجاهل $f(\C)$ القرصَ $D(a, r)$ ، فإن $\abs{f(z) - a} \geq r$ من أجل كل $z$ ، ومنه تكون $g = 1/(f - a)$ صحيحة مع $\abs g \leq 1/r$ : أي ثابتة بليوفيل، ومنه $f$ ثابتة. وبنقيض النقيض: يقاطع مجال دالة صحيحة غير ثابتة كلَّ قرص — أي إنه كثيف في $\C$ .

16. نختار $R$ بحيث $\abs f \geq 1$ خارج $D(0, R)$ . فتقع جذور $f$ في المتراصة $\bar D(0, R)$ ؛ ولو كانت لانهائية لتراكمت هناك، ولفرضت المبرهنة 16.13 أن $f \equiv 0$ — وهو مستحيل. ولنسمّها $z_1, \dots, z_p$ بترافقات $m_1, \dots, m_p$ ، ونضع $M = \sum m_i$ و $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$ . وبتحليل كل جذر خارج متسلسلة القوى، تكون $g = f/\Pi$ صحيحة وعديمة الجذور. ومن أجل $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$ : $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ و $\abs f \geq 1$ ، ومنه $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$ ؛ وعلى القرص المتراص الباقي تكون $1/g$ متصلة، ومنه محدودة: أي $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ في كل مكان. وحسب السؤال 12، تكون $1/g$ كثير حدود؛ وهي عديمة الجذور، ومنه فهي حسب السؤال 7 ثابتٌ غير معدوم $c$ : أي إن $f = \frac1c\Pi$ كثير حدود. وبالعكس، يجعل السؤال 1 كل كثير حدود غير ثابت سويًّا. وتُستبعد $\eu^z$ بحق: إذ على امتداد $\R_-$ ، $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$ بينما $\abs z \to \infty$ .

17. نوسطن المبرهنة 16.9 عند المركز: فمع $w = a + r\eu^{\iu\theta}$ ، $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$ ،

f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ;

وبأخذ الأجزاء الحقيقية نجد خاصية القيمة المتوسطة للدالة $u$ . ولو بلغ $u$ قيمةً عظمى عند نقطة داخلية من $\Omega$ المترابطة: لبلغ $\abs{\eu^f} = \eu^u$ قيمةً عظمى داخلية، ومنه تكون $\eu^f$ ثابتة حسب المبرهنة 16.14(2)، ويكون $u = \log\abs{\eu^f}$ ثابتًا. وعلى مجال محدود مع الاتصال حتى الحافة، $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$ ، تمامًا كما من أجل $\abs f$ .

18. الحالة $\abs a > r$ . نختار $R$ يحقق $r < R < \abs a$ : فعلى القرص المحدّب $D(0, R)$ تكون الدالة $a - z$ هولومورفية وعديمة الجذور، وللمقدار $z \mapsto -1/(a - z)$ دالةٌ أصلية $L$ هناك (المبرهنة 16.8)؛ وبعد ضبط الثابت، يعطي $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ أن $\eu^L = a - z$ : أي يوجد لوغاريتم هولومورفي، و $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$ . وتعطي خاصية القيمة المتوسطة في السؤال 17 عند $0$ بنصف القطر $r$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a .

الحالة $\abs a < r$ . من $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$ ، يساوي المتوسط $\log r$ زائدَ متوسط $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ . ويحوّل التعويض $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ ، ثم — بكتابة $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$ مع $\rho < 1$ ، والحالة $a = 0$ بديهية — الإزاحة $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (وكلتاهما تحفظ المتوسطات على دور) هذا إلى متوسط $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$ : أي الحالة الأولى مع $(a, r) = (1, \rho)$ ، وهي تعطي $\log 1 = 0$ . وفي المجموع: $\log r = \log\max(\abs a, r)$ في الحالتين.

19. $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$ ، وكل جذر مكرَّر حسب ترافقه؛ وبالمتوسطة في $\theta$ وتطبيق السؤال 18 مع $r = 1$ على كل جذر خارج الدائرة الواحدية نجد $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$ . وأما الفحوص: فمن أجل $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ تتنبّأ الصيغة بالمقدار $\log 2$ ؛ ومباشرةً، $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ ويكون متوسط $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ هو $\log\max(\frac12, 1) = 0$ : فالمتوسط $\log 2$ . ومن أجل $P = X^2 - X = X(X - 1)$ يقع الجذر $1$ على الدائرة؛ وتتنبّأ الصيغة بالمقدار $0$ . ومباشرةً، يكون متوسط $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ هو $0$ ، ومع $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u .

ويعطي التعويض $u = 2v$ و $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ أن $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ (إذ يساوي كل نصف $J/2$ بتماثلات $\sin$ )، ومنه $J = -\pi\log 2$ (والتكاملات المعتلّة متقاربة، إذ $\log\sin$ قابلة للمكاملة عند الطرفين): فالمتوسط $\log2 - \log2 = 0$ . فتنجو الصيغة من الجذور الواقعة على الدائرة.

20. المقدار $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ صحيح ويساوي $1$ عند $0$ : ومنه مقلوبه هولومورفي بجوار $0$ (بل على $\abs z < 2\pi$ ، إذ أقرب جذور أخرى للمقدار $\eu^z - 1$ هي $\pm2\iu\pi$ )، فيكون $\frac z{\eu^z-1}$ تحليليًّا عند $0$ . وبضرب المتسلسلتين وقراءة معامل $z^n$ حيث $n \geq 1$ في $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$ :

\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 .

وبالتتابع: $B_0 = 1$ ، $B_1 = -\frac12$ ، $B_2 = \frac16$ ، $B_3 = 0$ ، $B_4 = -\frac1{30}$ ، $B_5 = 0$ ، $B_6 = \frac1{42}$ . وأما الزوجية: فمع $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ ،

F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) :

تكون $F$ زوجية، ومنه $B_{2k+1} = 0$ من أجل $k \geq 1$ (إذ امتصّ المقدار $+\frac z2$ المعاملَ الفردي الوحيد $B_1$ ). وإشارة إلى الأمام: يعطي $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ أن $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$ ، ومنه تكون معاملات لوران لظل التمام — ومن ثَمّ، حسب الفصل 17، كل $\zeta(2k)$ — مسعَّرةً بأعداد برنولي:

\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} .

21. نكتب $f = \sum_nc_nz^n$ (بنصف قطر $\infty$ )؛ عندئذٍ تكون $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ صحيحة. وعلى $\R$ : $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$ ، ومنه تتوافق $g$ و $f$ على مجموعة لها نقاط تراكم في $\C$ المترابط: فتعطي المبرهنة 16.13 أن $g \equiv f$ ، أي $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (أو بالتكافؤ: أن جميع $c_n$ حقيقية). ومن أجل كثير حدود حقيقي $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ ، والمتطابقة نفسها مطبَّقةً على المشتقات الحقيقية $P', P'', \dots$ تحفظ الترافقات: فتتزاوج الجذور غير الحقيقية — أي مزاوجة السؤال 8، مبرهَنًا عليها تحليليًّا.

22. السلّم، مركَّبًا: المحدودة $\Rightarrow$ ثابتة (11)؛ والمهيمَن عليها بالمقدار $A + B\abs z^m$ $\Rightarrow$ كثير حدود (12)؛ وذات الجزء الحقيقي المحدود من الأعلى $\Rightarrow$ ثابتة (13)؛ ومزدوجة الدورية $\Rightarrow$ ثابتة (14)؛ والتي يتجاهل مجالها قرصًا $\Rightarrow$ ثابتة (15)؛ والسويّة $\Rightarrow$ كثير حدود (16). وكل درجة هي صيغة كوشي: إذ القيمة عند نقطة متوسطٌ على دائرة، ومنه تُسعَّر جميع معاملات تايلور بحجم $f$ على الدوائر الكبيرة، ويفني سقفُ نمو المعاملاتِ جملةً. ولا شيء من هذا يقيّد الدوال الحقيقية من الصنف $\mathcal C^\infty$ : فدالة نتوء (المبرهنة 12.9) محدودة وذات حامل متراص وغير ثابتة بجموح، وتنعدم جميع مشتقاتها عند أي نقطة خارج الحامل دون أن تنعدم الدالة في أي مكان بجوارها. فالنعومة لا تربط المشتقات عند نقاط متمايزة البتة؛ أما الهولومورفية فتسلسل كل مشتقة إلى تكامل واحد على دائرة بعيدة. شرطٌ محلي بمخبِر شامل — ولهذا تخضع الدوال الصحيحة للقانون والنظام.

23. بنشر $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ والمتوسطة يُلغى كل حدّ $k \neq l$ : فيكون المتوسط $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$ . ولنفترض أولًا أن $P$ لا يقبل أي جذر على الدائرة الواحدية، فيكون $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ متصلًا. ويعطي الحدّ $\log t \leq t - 1$ مطبَّقًا على $t = \abs P^2/N$ ، بعد المتوسطة،

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0,

ومنه يكون الوسط الهندسي للمقدار $\abs P$ على الأكثر $\sqrt N$ ؛ ويعيّن السؤال 19 ذلك الوسط الهندسي بالمقدار $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$ : أي متراجحة لانداو. وأما الجذور على الدائرة: فنختار $r > 1$ مختلفًا عن كل $\abs{\alpha_i}$ ؛ فيحقق كثير الحدود $P(rX)$ ، وجذوره $\alpha_i/r$ خارج الدائرة الواحدية ومعاملاته $a_kr^k$ ، المتراجحةَ؛ والطرفان متصلان في $r$ ، وبجعل $r \to 1^+$ نجد الحالة العامة. وعلى $X^2 - X$ : الجذران $0$ و $1$ ، ومنه الطرف الأيسر $1$ ، والطرف الأيمن $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ : فهي صحيحة، بفسحة.

24. نكتب $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ مع $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ صحيحة و $g(0) = 1$ . وبما أن $\eu^z = 1$ على $2\pi\iu\Z$ بالضبط، لا تقبل $g$ أي جذر في $D(0, 2\pi)$ (من أجل $0 < \abs z < 2\pi$ لأن $\eu^z - 1 \neq 0$ ، وعند $0$ لأن $g(0) = 1$ )، ومنه تكون $h = 1/g$ هولومورفية على $D(0,2\pi)$ وتتقارب متسلسلة تايلور لها عند $0$ — وهي بالتعريف $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ — على القرص كله: أي $\rho \geq 2\pi$ . ولو كان $\rho > 2\pi$ ، لكان المجموع $S$ هولومورفيًّا على $D(0,\rho)$ ، وهو يوافق $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ على $0 < \abs z < 2\pi$ ؛ وكلاهما هولومورفي على المجموعة المفتوحة المترابطة $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$ ، ومنه يتوافقان هناك بمبرهنة التطابق. لكن حين $z \to 2\pi\iu$ ، $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (إذ البسط $\to 2\pi$ والمقام $\to 0$ ) بينما $S$ متصلة عند $2\pi\iu$ : وهو تناقض. ومنه $\rho = 2\pi$ بالضبط، وتعطي صيغة هادامار أن $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$ ؛ وبكون المعاملات الفردية معدومة انطلاقًا من $n = 3$ ، يحمل $\limsup$ الأدلّةُ الزوجية، وهي الصيغة المذكورة مع $n = 2k$ . وعدديًّا عند $k = 6$ : $(2\pi)^{12} \approx 3.7858\cdot10^9$ و $2\cdot12! = 958\,003\,200$ ، ومنه $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ ، مقابل $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0.25311$ . والنسبة $1.00025$ هي بالضبط $\zeta(12)$ إلى غاية الأرقام المعروضة: وتشرح صيغة حساب البواقي $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ في الفصل 17 العاملَ $2$ والفائض الضئيل معًا.

25. حدّ كوشي: إذا كان $\abs z > 1 + M$ مع $M = \max_k\abs{q_k}$ ، فإن

\Bigl|\sum_{k<n}q_kz^k\Bigr| \leq M\,\frac{\abs z^n - 1}{\abs z - 1} < \frac{M}{\abs z - 1}\,\abs z^n \leq \abs z^n,

ومنه $\abs{Q(z)} > 0$ : أي تقع جميع الجذور في $\overline D(0, 1+M)$ . ومعاملات $P_j$ متقاربة، ومنه محدودة بعدد $M$ ما: فتقع جميع جذور جميع $P_j$ (وجذور $P$ ) في المتراصة $K = \overline D(0, 1 + M)$ . ولتكن $v_j \in K^n$ متجهةً تسرد جذور $P_j$ بالترافق (السؤال 7). فلكل متتالية جزئية من $(v_j)$ متتاليةٌ جزئية أخرى تتقارب إلى $(\beta_1, \dots, \beta_n)$ ما؛ ومعاملات $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ هي، إلى غاية الإشارة، الدوال المتناظرة الأولية للمتجهة $v_j$ — وهي متصلة — ومنه تتقارب على امتداد تلك المتتالية الجزئية إلى معاملات $\prod_i(X - \beta_i)$ ؛ لكنها تتقارب إلى معاملات $P$ بالفرضية، ومنه $\prod_i(X - \beta_i) = P$ : أي إن كل نهاية جزئية للمتتالية $(v_j)$ تبديلةٌ لمتجهة جذور $P$ . ولو لم تؤل مسافة المطابقة $\delta_j = \min_\sigma\max_i\, \abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ إلى $0$ ، لأبقت متتالية جزئية $\delta_j \geq \varepsilon$ بينما تتقارب متجهات جذورها إلى تبديلة لجذور $P$ — وهو يفرض $\delta_j \to 0$ على امتدادها: تناقض. ومنه تتقارب متعددات مجموعات الجذور. وأما الحدّية: فإن $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ له الجذور $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$ : أي إن الجذر المضاعف يتحرك بمقدار $\sqrt\varepsilon$ ، مثلًا بمقدار $10^{-2}$ من أجل $\varepsilon = 10^{-4}$ . وعمومًا، إذا كان $\alpha$ جذرًا من الترافق $m$ ، فإن بجوار $\alpha$ يكون $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$ ، ومنه يزيح اضطرابٌ حجمه $\varepsilon$ عنقودَ الجذور بنحو $\varepsilon^{1/m}$ : أي اتصال هولدر بالأُسّ $\frac1m$ ولا أفضل — ولهذا لا يحتفظ حلّالٌ عددي بجوار جذر مضاعف إلا بنصف أرقام العمل.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد