ما معنى العزوم والتباين؟ — الرياضيات

تعريف 22.13 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · 第 22 章 — المتغيرات العشوائية المتقطعة

نقول إن $X$ يقبل عزما من الرتبة 2 إذا كان $X^2$ يقبل أملا رياضيا (وعندئذ يقبله $X$ أيضا، بالهيمنة: $\abs X \leq \frac{1 + X^2}{2}$ ). وعندئذ يكون تباينه وانحرافه المعياري

V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \E(X^2) - \E(X)^2 , \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)} ,

(والصيغة الثانية — وهي صيغة كونيغ–هويغنز — بنشر المربع واستعمال الخطية:

\E\bigl((X - \E X)^2\bigr) = \E\bigl(X^2 - 2X\,\E X + \E(X)^2\bigr) = \E(X^2) - 2\,\E(X)^2 + \E(X)^2 ,

مع كون الحد الأوسط ناتجا عن كون $\E X$ ثابتا). ومن أجل $X, Y$ ذوي عزوم من الرتبة الثانية، يكون التغاير

\operatorname{Cov}(X, Y) = \E\bigl((X - \E X)(Y - \E Y)\bigr) = \E(XY) - \E(X)\E(Y) .

示例

مثال 22.16 (غير مترابطين لكن ملتصقين)

نرمي نردين متزنين، $X$ و $Y$ مستقلين، ونضع $S = X + Y$ ، $D = X - Y$ . وبثنائية خطية التغاير،

\operatorname{Cov}(S, D) = V(X) - V(Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = V(X) - V(Y) = 0 :

فالمجموع والفرق غير مترابطين. فهل هما مستقلان؟ قطعا لا: إذ يفرض $S = 12$ أن $D = 0$ ، بينما $\P(D = 0) = \frac16$ دون شرط. فالترابط لا يختبر إلا الجزء الخطي من التعلق؛ وهنا يحمل التعلقَ القيدُ القائل إن $S$ و $D$ لهما الزوجية نفسها، وهو غير مرئي للتغاير. (ومن أجل هذا الزوج، احتاج انعدام التغاير إلى $V(X) = V(Y)$ : فالتوزيعان المتطابقان، لا الاستقلال، هما اللذان أنجزا العمل.)

مثال 22.17 (متى تكون متراجحة ماركوف مساواة)

تكون متراجحة ماركوف مساواة بالضبط عندما لا يُهدر شيء في الحصر $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$ : أي عندما لا يأخذ المتغير إلا القيمتين $0$ و $a$ . وبصورة ملموسة، إذا كان $\P(X = a) = \pi$ و $\P(X = 0) = 1 - \pi$ ، فإن $\E(X) = a\pi$ و

\P(X \geq a) = \pi = \frac{\E(X)}{a} .

وقراءة واقعية: ففي مجتمع متوسط الثروة فيه $100$ والثروة إما $0$ وإما $10^6$ ، تكون نسبة أصحاب الملايين هي $10^{-4}$ بالضبط — أي حصر ماركوف، مبلوغا بالضبط بمتراجحة قصوى. وكلما انتشر $X$ على قيم وسيطة كان الحصر تاما، وغالبا بفارق هائل؛ لكن كما تبين الحالة الحدية، لا يمكن استخراج متراجحة أفضل من المتوسط وحده.

مثال 22.18 (متراجحة تشيبيشيف أمثلية — دون فرضيات إضافية)

نثبّت $\varepsilon > 0$ ، $q \in \intoc01$ ، ونجعل $X$ يأخذ القيمتين $\pm\varepsilon$ باحتمال $\frac q2$ لكل منهما و $0$ باحتمال $1 - q$ . عندئذ $\E(X) = 0$ ، $V(X) = q\varepsilon^2$ ، و

\P\bigl(\abs{X - \E X} \geq \varepsilon\bigr) = q = \frac{V(X)}{\varepsilon^2} :

أي التساوي في متراجحة تشيبيشيف. ومنه فلا يمكن تحسين المتراجحة باستعمال التباين وحده — فالتلاشي $1/\varepsilon^2$ هو الثمن المضبوط لمعلومة العزم من الرتبة الثانية. أما التلاشي الأسرع فيتطلب فرضيات أقوى: فحصر المتغير يشتري تركيزا أسيا، كما يستعرض التمرين 22.7 وكما تطوره مسألة نهاية الأسبوع لهذا الفصل منهجيا.

在原文中阅读 ←