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Matemática · Glossário

O que é Arco parametrizado?

Também chamado de: reta tangente

Definição 18.1 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 18 — Curvas

Um arco parametrizado de classe Ck\mathcal{C}^k (k≥1k \geq 1) é uma aplicação γ ⁣:I→Rn\gamma \colon I \to \R^n de classe Ck\mathcal{C}^k num intervalo II. Um ponto γ(t)\gamma(t) é regular se γ′(t)≠0\gamma'(t) \neq 0, e o arco é regular se todos os seus pontos o são. A reta por γ(t)\gamma(t) dirigida por γ′(t)\gamma'(t) é a reta tangente num ponto regular.

Exemplos

Exemplo 18.4 (A velocidade nada muda de geométrico)

Parametrize o círculo unitário por

γ(t)=(cos⁡t2, sin⁡t2),t∈[0, 2π].\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

A velocidade escalar ∥γ′(t)∥=2t\norm{\gamma'(t)} = 2t cresce linearmente, e no entanto

L=∫02π2t  ⁣dt=2π,L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

o mesmo comprimento que a velocidade constante — como o Teorema 18.7 promete, via a mudança de parâmetro t↦t2t \mapsto t^2. A reta tangente, a curvatura calculada a partir de Proposição 18.17 e toda outra quantidade geométrica também coincidem; só t=0t = 0 merece um olhar, onde γ′(0)=0\gamma'(0) = 0 torna esta parametrização irregular embora a trajetória seja um círculo perfeito. Os enunciados geométricos toleram mal as más parametrizações: reparametrize primeiro, conclua depois.

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