O que é Arco parametrizado? — Matemática

Definição 18.1 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 18 — Curvas

Um arco parametrizado de classe $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) é uma aplicação $\gamma \colon I \to \R^n$ de classe $\mathcal{C}^k$ num intervalo $I$ . Um ponto $\gamma(t)$ é regular se $\gamma'(t) \neq 0$ , e o arco é regular se todos os seus pontos o são. A reta por $\gamma(t)$ dirigida por $\gamma'(t)$ é a reta tangente num ponto regular.

Exemplos

Exemplo 18.4 (A velocidade nada muda de geométrico)

Parametrize o círculo unitário por

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

A velocidade escalar $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ cresce linearmente, e no entanto

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

o mesmo comprimento que a velocidade constante — como o Teorema 18.7 promete, via a mudança de parâmetro $t \mapsto t^2$ . A reta tangente, a curvatura calculada a partir de Proposição 18.17 e toda outra quantidade geométrica também coincidem; só $t = 0$ merece um olhar, onde $\gamma'(0) = 0$ torna esta parametrização irregular embora a trajetória seja um círculo perfeito. Os enunciados geométricos toleram mal as más parametrizações: reparametrize primeiro, conclua depois.

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