Apa itu Busur terparameter? — Matematika

Definisi 18.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 18 — Kurva

Sebuah busur terparameter berkelas $\mathcal{C}^k$ (dengan $k \geq 1$ ) adalah pemetaan $\gamma \colon I \to \R^n$ berkelas $\mathcal{C}^k$ pada interval $I$ . Sebuah titik $\gamma(t)$ disebut regular bila $\gamma'(t) \neq 0$ , dan busurnya regular bila semua titiknya demikian. Adapun garis lewat $\gamma(t)$ yang diarahkan $\gamma'(t)$ disebut garis singgung di titik regularnya.

Contoh

Contoh 18.4 (Kelajuan tak mengubah apa pun yang geometris)

Parameterkan lingkaran satuannya lewat

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

Kelajuannya $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ tumbuh linear, namun

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

yakni panjang yang sama seperti pada kelajuan tetap — sebagaimana dijanjikan Teorema 18.7, lewat penggantian parameter $t \mapsto t^2$ . Garis singgungnya, kelengkungan yang dihitung dari Proposisi 18.17, dan setiap besaran geometris lainnya juga sepakat; hanya $t = 0$ yang pantas dilirik, tempat $\gamma'(0) = 0$ membuat parameterisasi ini tak regular walaupun lintasannya berupa lingkaran yang sempurna. Jadi pernyataan geometris kurang toleran terhadap parameterisasi yang buruk: parameterkan ulang dulu, simpulkan kemudian.

Baca dalam konteks →