प्राचलित चाप क्या है? — गणित

परिभाषा 18.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 18 — वक्र

वर्ग $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) का प्राचलित चाप किसी अंतराल $I$ पर वर्ग $\mathcal{C}^k$ का प्रतिचित्रण $\gamma \colon I \to \R^n$ है। बिंदु $\gamma(t)$ नियमित है यदि $\gamma'(t) \neq 0$ , और चाप नियमित है यदि उसके सारे बिंदु नियमित हों। $\gamma'(t)$ से दिशित, $\gamma(t)$ से होकर जाने वाली रेखा नियमित बिंदु पर स्पर्श रेखा है।

उदाहरण

उदाहरण 18.4 (चाल ज्यामितीय रूप से कुछ नहीं बदलती)

इकाई वृत्त का प्राचलन इस प्रकार कीजिए:

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

चाल $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ रैखिक रूप से बढ़ती है, फिर भी

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

अर्थात् वही लंबाई जो अचर चाल पर मिलती — जैसा प्रमेय 18.7 वादा करती है, प्राचल परिवर्तन $t \mapsto t^2$ के द्वारा। स्पर्श रेखा, प्रतिज्ञप्ति 18.17 से परिकलित वक्रता, और हर दूसरी ज्यामितीय राशि भी मेल खाती है; केवल $t = 0$ एक नज़र का हक़दार है, जहाँ $\gamma'(0) = 0$ इस प्राचलन को अनियमित बना देता है यद्यपि पथ पूरा-पूरा वृत्त है। ज्यामितीय कथन बुरे प्राचलनों को बुरी तरह सहते हैं: पहले पुनःप्राचलन कीजिए, निष्कर्ष बाद में निकालिए।

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