¿Qué es Arco parametrizado? — Matemáticas

Definición 18.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 18 — Curvas

Un arco parametrizado de clase $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) es una aplicación $\gamma \colon I \to \R^n$ de clase $\mathcal{C}^k$ sobre un intervalo $I$ . Un punto $\gamma(t)$ es regular si $\gamma'(t) \neq 0$ , y el arco es regular si lo son todos sus puntos. La recta que pasa por $\gamma(t)$ y tiene dirección $\gamma'(t)$ es la recta tangente en un punto regular.

Ejemplos

Ejemplo 18.4 (La rapidez no cambia nada geométrico)

Parametricemos la circunferencia unidad mediante

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

La rapidez $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ crece linealmente y, sin embargo,

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

la misma longitud que a rapidez constante, como promete el Teorema 18.7 mediante el cambio de parámetro $t \mapsto t^2$ . La recta tangente, la curvatura calculada con la Proposición 18.17 y cualquier otra magnitud geométrica coinciden igualmente; solo $t = 0$ merece un vistazo, pues $\gamma'(0) = 0$ hace irregular esta parametrización aunque la trayectoria sea una circunferencia perfecta. Los enunciados geométricos toleran mal las malas parametrizaciones: primero reparametrizar, luego concluir.

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