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Matemáticas · Glosario

¿Qué es Arco parametrizado?

También llamado: recta tangente

Definición 18.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 18 — Curvas

Un arco parametrizado de clase Ck\mathcal{C}^k (k≥1k \geq 1) es una aplicación γ ⁣:I→Rn\gamma \colon I \to \R^n de clase Ck\mathcal{C}^k sobre un intervalo II. Un punto γ(t)\gamma(t) es regular si γ′(t)≠0\gamma'(t) \neq 0, y el arco es regular si lo son todos sus puntos. La recta que pasa por γ(t)\gamma(t) y tiene dirección γ′(t)\gamma'(t) es la recta tangente en un punto regular.

Ejemplos

Ejemplo 18.4 (La rapidez no cambia nada geométrico)

Parametricemos la circunferencia unidad mediante

γ(t)=(cos⁡t2, sin⁡t2),t∈[0, 2π].\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

La rapidez ∥γ′(t)∥=2t\norm{\gamma'(t)} = 2t crece linealmente y, sin embargo,

L=∫02π2t  ⁣dt=2π,L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

la misma longitud que a rapidez constante, como promete el Teorema 18.7 mediante el cambio de parámetro t↦t2t \mapsto t^2. La recta tangente, la curvatura calculada con la Proposición 18.17 y cualquier otra magnitud geométrica coinciden igualmente; solo t=0t = 0 merece un vistazo, pues γ′(0)=0\gamma'(0) = 0 hace irregular esta parametrización aunque la trayectoria sea una circunferencia perfecta. Los enunciados geométricos toleran mal las malas parametrizaciones: primero reparametrizar, luego concluir.

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