Wat is Geparametriseerde boog? — Wiskunde

Definitie 18.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 18 — Krommen

Een geparametriseerde boog van klasse $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) is een afbeelding $\gamma \colon I \to \R^n$ van klasse $\mathcal{C}^k$ op een interval $I$ . Een punt $\gamma(t)$ heet regulier wanneer $\gamma'(t) \neq 0$ , en de boog heet regulier wanneer al haar punten dat zijn. De rechte door $\gamma(t)$ met richting $\gamma'(t)$ is de raaklijn in een regulier punt.

Voorbeelden

Voorbeeld 18.4 (Snelheid verandert niets meetkundigs)

Parametriseer de eenheidscirkel met

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

De snelheid $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ groeit lineair, en toch is

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

dezelfde lengte als bij constante snelheid — zoals Stelling 18.7 belooft, via de parameterverandering $t \mapsto t^2$ . De raaklijn, de kromming berekend met Propositie 18.17 en elke andere meetkundige grootheid stemmen eveneens overeen; alleen $t = 0$ verdient een blik, waar $\gamma'(0) = 0$ deze parametrisering irregulier maakt hoewel de baan een volmaakte cirkel is. Meetkundige uitspraken verdragen slechte parametriseringen slecht: parametriseer eerst opnieuw, besluit daarna.

Lees in het hoofdstuk →