Qu'est-ce que « Arc paramétré » ? — Mathématiques

Définition 18.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 18 — Courbes

Un arc paramétré de classe $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) est une application $\gamma \colon I \to \R^n$ de classe $\mathcal{C}^k$ sur un intervalle $I$ . Un point $\gamma(t)$ est régulier si $\gamma'(t) \neq 0$ , et l’arc est régulier si tous ses points le sont. La droite passant par $\gamma(t)$ et dirigée par $\gamma'(t)$ est la tangente en un point régulier.

Exemples

Exemple 18.4 (La vitesse ne change rien de géométrique)

Paramétrons le cercle unité par

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

La vitesse $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ croît linéairement, et pourtant

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

la même longueur qu’à vitesse constante — comme le Théorème 18.7 le promet, via le changement de paramètre $t \mapsto t^2$ . La tangente, la courbure calculée à partir de la Proposition 18.17, et toute autre grandeur géométrique coïncident également ; seul $t = 0$ mérite un regard, où $\gamma'(0) = 0$ rend ce paramétrage irrégulier bien que la trajectoire soit un cercle parfait. Les énoncés géométriques tolèrent mal les mauvais paramétrages : reparamétrer d’abord, conclure ensuite.

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