ما معنى الدالة المولّدة للاحتمالات؟

مثال 23.2 (ردود الفعل الأولى)

للمتغير الثابت $X = c$ الدالة $G_X(t) = t^c$؛ والإزاحة تحقق $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$؛ والتقويم عند نقط خاصة يقرأ معلومات دون أي نشر: $G_X(0) = \P(X = 0)$، $G_X(1) = 1$، و$G_X(-1) = \P(X\text{ زوجي}) - \P(X\text{ فردي})$، وهو ميزان الزوجية المستغل في التمرين 23.10. وتُستعمل هذه الأسطر المفردة بصمت في كل ما يلي — والتقويم $G_X(0)$ هو بالضبط كيف ستُستخرج احتمالات الانقراض من الدوال المولّدة المكررة في نهاية الفصل.

مثال 23.5 (مكاملة الدالة المولّدة)

تعطي مشتقات $G_X$ عند $1$ العزوم الموجبة؛ أما التكامل فيعطي عزما سالبا. انطلاقا من $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ وبالمكاملة حدا حدا (بالتقارب الناظمي على $\intcc01$):

ومن أجل $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

فنستعيد في سطر واحد حساب المتسلسلة في المثال 22.10. فالدالة المولّدة أداة ذات اتجاهين: نفاضل عند $1$ من أجل العزمين $\E(X)$ و$\E(X(X-1))$، ونكامل على $\intcc01$ من أجل $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — كائن تحليلي واحد، يُستجوب في أي اتجاه تحتاج إليه المسألة.

مثال 23.6 (قانون نصف قطره يساوي واحدا بالضبط)

لنضع $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ من أجل $k \geq 1$ — وهو قانون احتمال بحكم متطابقة بازل (المثال 14.12). ولدالته المولّدة $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ نصف قطر تقارب يساوي $1$ بالضبط: فالحصر العام “نصف القطر $\geq 1$” في القضية 23.3 لا يمكن تحسينه. والمتوسط هو

فالدالة $G$ متصلة على $\intcc{-1}1$، وملساء في الداخل، لكن مشتقتها تنفجر عند $1^-$ — فالتمثيل البياني يصل إلى النقطة $(1, 1)$ بمماس شاقولي. فالذيول الثقيلة مرئية هندسيا على الدالة المولّدة، عند النقطة الوحيدة $t = 1$؛ وتجعل مبرهنة العزوم أدناه هذا التقابل مضبوطا.