Qu'est-ce que « Fonction génératrice des probabilités » ?

Exemple 23.2 (Premiers réflexes)

Une variable constante $X = c$ a $G_X(t) = t^c$ ; un décalage obéit à $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$ ; et l’évaluation en des points particuliers révèle de l’information sans aucun développement : $G_X(0) = \P(X = 0)$, $G_X(1) = 1$, et $G_X(-1) = \P(X\text{ pair}) - \P(X\text{ impair})$, l’équilibre de parité exploité dans l’ Exercice 23.10. Ces formules d’une ligne sont utilisées silencieusement partout dans la suite — et l’évaluation $G_X(0)$ est exactement la façon dont les probabilités d’extinction seront extraites des fonctions génératrices itérées à la fin du chapitre.

Exemple 23.5 (Intégrer la fonction génératrice)

Les dérivées de $G_X$ en $1$ donnent les moments positifs ; l’intégrale en donne un négatif. À partir de $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ et de l’intégration terme à terme (convergence normale sur $\intcc01$) :

Pour $X \sim \mathcal P(\lambda)$ :

retrouvant en une ligne le calcul de séries de l’ Exemple 22.10. La fonction génératrice est un instrument à double sens : dériver en $1$ pour les moments $\E(X)$, $\E(X(X-1))$, intégrer sur $\intcc01$ pour $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — un seul objet analytique, interrogé dans le sens dont le problème a besoin.

Exemple 23.6 (Une loi de rayon exactement un)

Soit $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ pour $k \geq 1$ — une loi de probabilité par l’identité de Bâle (Exemple 14.12). Sa fonction génératrice $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ a un rayon de convergence exactement égal à $1$ : la borne générale « rayon $\geq 1$ » de la Proposition 23.3 ne peut être améliorée. Et la moyenne est

$G$ est continue sur $\intcc{-1}1$, $\mathcal C^\infty$ à l’intérieur, mais sa dérivée explose en $1^-$ — le graphe arrive au point $(1, 1)$ avec une tangente verticale. Les queues lourdes sont visibles géométriquement sur la fonction génératrice, au seul point $t = 1$ ; le théorème des moments ci-dessous rend cette correspondance exacte.