Apa itu Fungsi pembangkit peluang?

Contoh 23.2 (Refleks pertama)

Peubah konstan $X = c$ punya $G_X(t) = t^c$; sebuah geseran menuruti $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; dan mengevaluasinya di titik istimewa membaca informasinya tanpa penguraian apa pun: $G_X(0) = \P(X = 0)$, $G_X(1) = 1$, dan $G_X(-1) = \P(X\text{ genap}) - \P(X\text{ ganjil})$, yakni neraca keparitasan yang dimanfaatkan pada Latihan 23.10. Kalimat sebaris ini dipakai secara diam-diam di mana-mana di bawah — dan evaluasi $G_X(0)$ itu persis cara peluang kepunahan kelak diperas dari fungsi pembangkit yang teriterasi pada akhir bab ini.

Contoh 23.5 (Mengintegralkan fungsi pembangkitnya)

Turunan $G_X$ di $1$ memberi momen positif; adapun integralnya memberi yang negatif. Dari $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ dan pengintegralan suku demi suku (kekonvergenan normal pada $\intcc01$):

Untuk $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

yang memulihkan dalam satu baris perhitungan deret pada Contoh 22.10. Fungsi pembangkitnya merupakan alat dua arah: turunkan di $1$ untuk memperoleh momen $\E(X)$, $\E(X(X-1))$, integralkan pada $\intcc01$ untuk memperoleh $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — satu objek analitik, yang ditanyai ke arah mana pun yang diperlukan masalahnya.

Contoh 23.6 (Sebuah hukum yang jari-jarinya persis satu)

Ambil $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ untuk $k \geq 1$ — sebuah hukum peluang menurut kesamaan Basel (Contoh 14.12). Fungsi pembangkitnya $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ berjari-jari kekonvergenan persis $1$: batas umum “jari-jari $\geq 1$” pada Proposisi 23.3 tak dapat diperbaiki. Adapun reratanya adalah

$G$ kontinu pada $\intcc{-1}1$, mulus di dalamnya, tetapi turunannya meledak di $1^-$ — grafiknya tiba di titik $(1, 1)$ dengan singgung tegak. Ekor yang berat terlihat secara geometrik pada fungsi pembangkitnya, di satu titik $t = 1$ saja; adapun teorema momen di bawah membuat padanan ini menjadi persis.