¿Qué es Función generatriz de probabilidad?

Ejemplo 23.2 (Primeros reflejos)

Una variable constante $X = c$ tiene $G_X(t) = t^c$; un desplazamiento obedece a $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; y evaluar en puntos especiales permite leer información sin desarrollo alguno: $G_X(0) = \P(X = 0)$, $G_X(1) = 1$ y $G_X(-1) = \P(X\text{ par}) - \P(X\text{ impar})$, el balance de paridades explotado en el Ejercicio 23.10. Estas fórmulas de una línea se usan calladamente en todo lo que sigue; y la evaluación $G_X(0)$ es exactamente cómo se extraerán las probabilidades de extinción de las funciones generatrices iteradas al final del capítulo.

Ejemplo 23.5 (Integrar la función generatriz)

Las derivadas de $G_X$ en $1$ dan los momentos positivos; la integral da uno negativo. De $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ y la integración término a término (convergencia normal sobre $\intcc01$):

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

lo que recupera en una línea el cálculo con series del Ejemplo 22.10. La función generatriz es un instrumento de doble sentido: derívese en $1$ para los momentos $\E(X)$, $\E(X(X-1))$, e intégrese sobre $\intcc01$ para $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$; un único objeto analítico, interrogado en la dirección que el problema necesite.

Ejemplo 23.6 (Una ley de radio exactamente uno)

Sea $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ para $k \geq 1$; una ley de probabilidad por la identidad de Basilea (Ejemplo 14.12). Su función generatriz $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ tiene radio de convergencia exactamente $1$: la cota general “radio $\geq 1$” de la Proposición 23.3 no puede mejorarse. Y la media es

$G$ es continua sobre $\intcc{-1}1$ y regular en el interior, pero su derivada estalla en $1^-$; la gráfica llega al punto $(1, 1)$ con tangente vertical. Las colas pesadas son visibles geométricamente en la función generatriz, en el único punto $t = 1$; el teorema de los momentos de más abajo hace exacta esa correspondencia.