O que é Função geradora de probabilidade?

Exemplo 23.2 (Primeiros reflexos)

Uma variável constante $X = c$ tem $G_X(t) = t^c$; um deslocamento obedece a $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; e avaliar em pontos especiais extrai informação sem desenvolvimento algum: $G_X(0) = \P(X = 0)$, $G_X(1) = 1$ e $G_X(-1) = \P(X\text{ par}) - \P(X\text{ ímpar})$, o balanço de paridades explorado no Exercício 23.10. Essas frases de uma linha são usadas silenciosamente em toda parte abaixo — e a avaliação $G_X(0)$ é exatamente como as probabilidades de extinção serão extraídas de funções geradoras iteradas no fim do capítulo.

Exemplo 23.5 (Integrando a função geradora)

As derivadas de $G_X$ em $1$ dão momentos positivos; a integral dá um momento negativo. De $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ e da integração termo a termo (convergência normal em $\intcc01$):

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

recuperando numa linha o cálculo em séries do Exemplo 22.10. A função geradora é um instrumento de mão dupla: derive em $1$ para os momentos $\E(X)$, $\E(X(X-1))$, integre em $\intcc01$ para $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — um só objeto analítico, consultado na direção de que o problema precisa.

Exemplo 23.6 (Uma lei de raio exatamente um)

Seja $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ para $k \geq 1$ — uma lei de probabilidade pela identidade de Basileia (Exemplo 14.12). Sua função geradora $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ tem raio de convergência exatamente $1$: a cota geral “raio $\geq 1$” da Proposição 23.3 não pode ser melhorada. E a média vale

$G$ é contínua em $\intcc{-1}1$, suave no interior, mas sua derivada explode em $1^-$ — o gráfico chega ao ponto $(1, 1)$ com tangente vertical. As caudas pesadas são visíveis geometricamente na função geradora, no único ponto $t = 1$; o teorema dos momentos abaixo torna essa correspondência exata.