Wat is Kansgenererende functie?

Voorbeeld 23.2 (Eerste reflexen)

Een constante veranderlijke $X = c$ heeft $G_X(t) = t^c$; een verschuiving voldoet aan $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; en evalueren in bijzondere punten leest informatie af zonder enige ontwikkeling: $G_X(0) = \P(X = 0)$, $G_X(1) = 1$ en $G_X(-1) = \P(X\text{ even}) - \P(X\text{ oneven})$, de pariteitsbalans die in Oefening 23.10 wordt uitgebuit. Deze eenregelige feiten worden hieronder stilzwijgend overal gebruikt — en de evaluatie $G_X(0)$ is precies hoe aan het eind van het hoofdstuk uitstervingskansen uit geïtereerde genererende functies zullen worden gehaald.

Voorbeeld 23.5 (De genererende functie integreren)

Afgeleiden van $G_X$ in $1$ geven positieve momenten; de integraal geeft een negatief moment. Uit $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ en termsgewijze integratie (normale convergentie op $\intcc01$):

Voor $X \sim \mathcal P(\lambda)$:

waarmee de reeksberekening van Voorbeeld 22.10 in één regel wordt teruggevonden. De genererende functie is een instrument dat beide kanten op werkt: differentieer in $1$ voor de momenten $\E(X)$ en $\E(X(X-1))$, integreer over $\intcc01$ voor $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — één analytisch object, bevraagd in de richting die het probleem vraagt.

Voorbeeld 23.6 (Een verdeling met straal precies één)

Zij $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ voor $k \geq 1$ — een kansverdeling wegens de identiteit van Basel (Voorbeeld 14.12). Haar genererende functie $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ heeft convergentiestraal precies $1$: de algemene grens “straal $\geq 1$” van Propositie 23.3 kan niet worden verbeterd. En het gemiddelde is

$G$ is continu op $\intcc{-1}1$ en glad binnenin, maar haar afgeleide explodeert in $1^-$ — de grafiek komt met een verticale raaklijn in het punt $(1, 1)$ aan. Zware staarten zijn meetkundig zichtbaar op de genererende functie, in het ene punt $t = 1$; de stelling over de momenten hieronder maakt die overeenkomst exact.