प्रायिकता जनक फलन क्या है?

उदाहरण 23.2 (पहले प्रतिवर्त)

किसी अचर चर $X = c$ का $G_X(t) = t^c$ होता है; किसी खिसकाव के लिए $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$; और विशेष बिंदुओं पर मूल्यांकन बिना किसी प्रसार के सूचना पढ़ लेता है: $G_X(0) = \P(X = 0)$, $G_X(1) = 1$, तथा $G_X(-1) = \P(X\text{ सम}) - \P(X\text{ विषम})$, अर्थात् वही सम-विषमता संतुलन जिसका अभ्यास 23.10 में उपयोग हुआ। ये एक-पंक्ति वाले तथ्य नीचे सर्वत्र चुपचाप बरते जाते हैं — और मूल्यांकन $G_X(0)$ ठीक वही है जिससे अध्याय के अंत में पुनरावृत्त जनक फलनों से विलोपन प्रायिकताएँ निकाली जाएँगी।

उदाहरण 23.5 (जनक फलन का समाकलन)

$1$ पर $G_X$ के अवकलज धनात्मक आघूर्ण देते हैं; समाकल कोई ऋणात्मक आघूर्ण देता है। $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ तथा पद-दर-पद समाकलन ($\intcc01$ पर प्रसामान्य अभिसरण) से:

$X \sim \mathcal P(\lambda)$ के लिए:

जिससे उदाहरण 22.10 का श्रेणी-परिकलन एक पंक्ति में पुनः मिल जाता है। जनक फलन दोतरफ़ा यंत्र है: आघूर्णों $\E(X)$, $\E(X(X-1))$ के लिए $1$ पर अवकलन कीजिए, $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ के लिए $\intcc01$ पर समाकलन — एक ही वैश्लेषिक वस्तु, जिससे उसी दिशा में पूछा जाता है जिसमें समस्या को चाहिए।

उदाहरण 23.6 (ठीक एक त्रिज्या वाला कोई नियम)

मान लीजिए $k \geq 1$ के लिए $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ — जो बासेल सर्वसमिका (उदाहरण 14.12) से कोई प्रायिकता नियम है। उसके जनक फलन $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ की अभिसरण त्रिज्या ठीक $1$ है: अर्थात् प्रतिज्ञप्ति 23.3 का व्यापक परिबंध “त्रिज्या $\geq 1$” सुधारा नहीं जा सकता। और माध्य

है। $G$ $\intcc{-1}1$ पर संतत है, भीतर चिकना, पर उसका अवकलज $1^-$ पर फट पड़ता है — ग्राफ़ बिंदु $(1, 1)$ पर किसी ऊर्ध्वाधर स्पर्शी के साथ पहुँचता है। भारी पुच्छ जनक फलन पर, अकेले बिंदु $t = 1$ पर, ज्यामितीय रूप से दिख जाती हैं; और नीचे दी आघूर्ण प्रमेय इस संगति को ठीक-ठीक बना देती है।