ما معنى إسقاط؟ — الرياضيات

تعريف 20.14 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 20 — التطبيقات الخطية

ليكن $E = F \oplus G$ . الإسقاط على $F$ على امتداد $G$ يرسل $x = f + g$ (بالتفكيك الوحيد) إلى $p(x) = f$ ؛ والتماثل المرتبط به هو $s(x) = f - g$ . وكلاهما خطي، و $s = 2p - \mathrm{id}$ .

الإسقاط على F = Vect(1,1) على امتداد G = Vect(0,1) وتماثله، على النقطة M = (2,\ 0.5): فبالانزلاق عموديًا، تصيب M الفضاءَ F عند p(M) = (2,2) وتحطّ عند s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)، على بعد فوق F (مقيسًا على امتداد G) بقدر ما كانت M تحته. — الإسقاط على $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ وتماثله، على النقطة $M = (2,\ 0.5)$ : فبالانزلاق عموديًا، تصيب $M$ الفضاءَ $F$ عند $p(M) = (2,2)$ وتحطّ عند $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ ، على بعد فوق $F$ (مقيسًا على امتداد $G$ ) بقدر ما كانت $M$ تحته.

أمثلة

مثال 20.16 (إسقاط وتماثله، صراحةً)

في $\R^2$ ، أسقط على $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . فكّك $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : تعطي الإحداثية الأولى $a = x$ ، والثانية $b = y - x$ . ومنه

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

وتحقق من الجبر: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ ، و $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . وهندسيًا، يكون $s$ هو «الانعكاس المائل» عبر المستقيم $y = x$ في الاتجاه العمودي: فهو يثبّت $F$ نقطةً نقطة ويعكس $G$ . ولو أسقطنا على $F$ نفسه على امتداد $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ بدل ذلك، لتغيرت الصيغة إلى $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : فالإسقاط يتحدد بصورته ونواته، لا بالصورة وحدها أبدًا.

اقرأ في الفصل ←