Apa itu proyeksi? — Matematika

Definisi 20.14 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 20 — Pemetaan Linear

Misalkan $E = F \oplus G$ . Adapun proyeksi pada $F$ sepanjang $G$ memetakan $x = f + g$ (dengan penguraiannya yang tunggal) ke $p(x) = f$ ; sedangkan simetri yang berkaitan adalah $s(x) = f - g$ . Keduanya linear, dan $s = 2p - \mathrm{id}$ .

Proyeksi pada F = Vect(1,1) sepanjang G = Vect(0,1) beserta simetrinya, pada titik M = (2,\ 0.5): dengan meluncur tegak, M mengenai F di p(M) = (2,2) lalu mendarat di s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), sejauh di atas F (yang diukur sepanjang G) sebagaimana M tadi di bawahnya. — Proyeksi pada $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ sepanjang $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ beserta simetrinya, pada titik $M = (2,\ 0.5)$ : dengan meluncur tegak, $M$ mengenai $F$ di $p(M) = (2,2)$ lalu mendarat di $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , sejauh di atas $F$ (yang diukur sepanjang $G$ ) sebagaimana $M$ tadi di bawahnya.

Contoh

Contoh 20.16 (Sebuah proyeksi dan simetrinya, secara eksplisit)

Di dalam $\R^2$ , proyeksikanlah pada $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ sepanjang $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Uraikanlah $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : maka koordinat pertamanya memberikan $a = x$ , dan yang kedua $b = y - x$ . Sehingga

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Periksalah aljabarnya: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ , dan $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Secara geometri, $s$ merupakan “pencerminan miring” terhadap garis $y = x$ pada arah tegaknya: karena ia menetapkan $F$ titik demi titik dan membalikkan $G$ . Seandainya kita memproyeksikan pada $F$ yang sama sepanjang $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ , maka rumusnya akan berubah menjadi $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : jadi sebuah proyeksi ditentukan oleh petanya dan kernelnya, tak pernah oleh petanya belaka.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait