الرياضيات الجامعية — السنة 1 · السنة الجامعية 1

20التطبيقات الخطية

التطبيقات الجديرة بالدراسة بين الفضاءات المتجهية هي المتوافقة مع البنية: التطبيقات الخطية. وفضاءاها الجزئيان الأساسيان — النواة والصورة — يقيسان التباين و الشمول، وفي البُعد المنتهي تربط مبرهنة الرتبة حجميهما في قانون حفظ واحد. وتختم الفصل الإسقاطات والتماثلات، ثم الأشكال الخطية والمستويات الفائقة.

20.1 التعاريف والخصائص الأولى

تعريف 20.1

ليكن $E, F$ فضاءين متجهيين على $K$ . يكون التطبيق $u \colon E \to F$ خطيًا إذا كان

\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).

وعندئذ $u(0) = 0$ و $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$ . ومجموعة التطبيقات الخطية $\mathcal{L}(E, F)$ هي نفسها فضاء متجهي؛ وتركيب التطبيقات الخطية خطي، وثنائي الخطية في الزوج. و التشاكل الذاتي تطبيق خطي $E \to E$ ؛ والتشاكل التقابلي تطبيق خطي تقابلي (ويكون معكوسه عندئذ خطيًا تلقائيًا)؛ ويكون $u^{-1}$ لتشاكل تقابلي، وتراكيب التشاكلات التقابلية، تشاكلات تقابلية.

برهان أن المعكوس خطي. ليكن $u$ خطيًا وتقابليًا وليكن $y, y' \in F$ و $\lambda \in K$ . ضع $x = u^{-1}(y)$ و $x' = u^{-1}(y')$ . عندئذ

u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x') = y + \lambda y' ,

وبتطبيق $u^{-1}$ على الطرفين: $u^{-1}(y + \lambda y') = x + \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$ . ولم يُحسب شيء عن $u^{-1}$ : فالخطية تنتقل عبر الخاصية المعرِّفة للمقدار $u$ وحدها — وهو نمط جدير بالحفظ، إذ كثيرًا ما تركب البنيةُ التقابلاتِ بالمجّان. ∎

قضية 20.2 (التطبيق الخطي معلوم على أساس)

ليكن $(e_1, \dots, e_n)$ أساسًا للمقدار $E$ ولتكن $(v_1, \dots, v_n)$ متجهات كيفية من $F$ . يوجد تطبيق خطي واحد بالضبط $u \colon E \to F$ يحقق $u(e_i) = v_i$ من أجل كل $i$ . وفوق ذلك:

u \text{ متباين} \iff (v_i) \text{ حرة}; \qquad u \text{ شامل} \iff (v_i) \text{ تولّد } F .

برهان. الوجود والوحدانية: لكل $x$ إحداثيات وحيدة $x = \sum \lambda_i e_i$ (القضية 18.15)؛ وتفرض الخطية $u(x) = \sum \lambda_i v_i$ ، وهذه الصيغة تعرّف فعلًا تطبيقًا خطيًا.

التباين: حسب القضية 20.5 أدناه، يكون $u$ متباينًا إذا وفقط إذا كانت نواته بديهية. والآن يعني $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ بالضبط $\sum\lambda_i v_i = 0$ . فإذا كانت $(v_i)$ حرة، فُرض كل $\lambda_i = 0$ ، أي تُردّ النواة إلى $0$ : فهو متباين. وإذا كانت $(v_i)$ مرتبطة، فإن علاقة غير بديهية $\sum\lambda_i v_i = 0$ تنتج المتجهة غير المعدومة $\sum\lambda_i e_i$ في النواة (لأن $(e_i)$ حرة): فليس متباينًا. والشرطان يتطابقان حدًّا بحدّ.

الشمول: صورة $u$ هي مجموعة كل المقادير $\sum\lambda_i v_i$ ، أي بالضبط $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$ ، وهي تساوي $F$ إذا وفقط إذا كانت العائلة مولِّدة. ∎

تعريف 20.3 (النواة والصورة)

من أجل $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E, \qquad \operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,

وكلاهما فضاء جزئي (بالتحقق المباشر من المحك).

طريقة 20.4 (النواة والصورة عمليًا)

النواة: اكتب $u(x) = 0$ جملةً على إحداثيات (أو معاملات) $x$ ، وحُلَّ، وعلّم — فتخرج النواة مصحوبةً بأساس (الطريقة 19.10). والصورة: هي الفضاء المولَّد بصور أيّ عائلة مولِّدة للمقدار $E$ — وعادةً أساس، ومنه $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ ؛ ثم احذف الصور الزائدة لاستخراج أساس. والاختصار: احسب أيّهما أسهل واحصل على بُعد الآخر بالمجّان بمبرهنة الرتبة (المبرهنة 20.7)؛ وحين يكون فضاء جزئي مرشّح معقول للصورة معلومًا، ترقّي مقارنةُ الأبعاد الاحتواءَ السهل إلى مساواة (المبرهنة 19.14). والاختصاران كلاهما مستعمل في المثال 20.11 أدناه.

قضية 20.5

يكون $u$ متباينًا $\iff$ $\ker u = \{0\}$ ؛ ويكون $u$ شاملًا $\iff$ $\operatorname{im} u = F$ .

برهان. كما من أجل الزمر (القضية 7.11): $u(x) = u(y) \iff u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$ . والنقطة الثانية هي التعريف. ∎

20.2 مبرهنة الرتبة

تعريف 20.6

رتبة المقدار $u \in \mathcal{L}(E, F)$ (مع $E$ ذي بُعد منته) هي $\operatorname{rk} u = \dim \operatorname{im} u$ — وهي كذلك رتبة العائلة $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ من أجل أيّ أساس $(e_i)$ للمقدار $E$ .

مبرهنة 20.7 (مبرهنة الرتبة)

ليكن $E$ ذا بُعد منته ولتكن $u \in \mathcal{L}(E, F)$ . عندئذ

\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .

وبدقة أكبر، إذا كان $S$ أيَّ فضاء جزئي متتامّ للمقدار $\ker u$ في $E$ ، فإن $u$ يقتصر ليعطي تشاكلًا تقابليًا من $S$ على $\operatorname{im} u$ .

برهان. ليحقق $S$ الشرط $E = \ker u \oplus S$ (المبرهنة 19.14)، ولتكن $v \colon S \to \operatorname{im} u$ قصر $u$ .

و $v$ متباين: $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$ .

و $v$ شامل: فأيّ $u(x)$ مع $x = k + s$ ( $k \in \ker u$ و $s \in S$ ) يساوي $u(s) = v(s)$ .

ومنه فالتطبيق $v$ تشاكل تقابلي؛ والتشاكل التقابلي يرسل أساسًا إلى أساس (القضية 20.2)، ومنه $\dim S = \dim\operatorname{im} u$ ، ويختم $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ . ∎

مثال 20.8 (بناء تطبيق حسب المواصفات)

ابنِ $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ يحقق $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ و $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$ . وتحقق من السلامة أولًا: تقتضي مبرهنة الرتبة $1 + 2 = 3$ — وهذا متسق، ومنه قد يوجد حلّ. اختر أساسًا مكيَّفًا مع النواة، وليكن $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (المثال 19.7)، وافرض الصور (القضية 20.2):

u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .

عندئذ $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ و $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$ ؛ وتفرض مبرهنة الرتبة $\dim\ker u = 1$ ، ومنه فالنواة هي المستقيم المفروض بالضبط. وصراحةً، بتفكيك $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ :

u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).

وتتعمّم الوصفة: فالتطبيق الخطي ذو النواة المفروضة $N$ والصورة المفروضة $I$ موجود بالضبط عندما يكون $\dim N + \dim I = \dim E$ — واللزوم هو مبرهنة الرتبة، والكفاية هي هذا البناء.

نتيجة 20.9

إذا كان $\dim E = \dim F$ (منتهيًا)، فإنه من أجل $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

u \text{ متباين} \iff u \text{ شامل} \iff u \text{ تقابلي}.

وعلى الخصوص يصحّ هذا من أجل التشاكلات الذاتية في البُعد المنتهي. (وهو يفشل في البُعد غير المنتهي: فعلى $K[X]$ ، تكون المشتقة شاملة لا متباينة، ويكون $P \mapsto XP$ متباينًا لا شاملًا.)

برهان. متباين $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E = \dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (لأن الفضاء الجزئي ذا البُعد الكامل هو كل شيء، المبرهنة 19.14) $\iff$ شامل. ∎

مثال 20.10 (المقايسة، بنيويًا)

ثبّت $x_0, \dots, x_n$ متمايزة ولتكن $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$ و $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ : وهو خطي. ونواته هي $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ جذرًا}\} = \{0\}$ (النتيجة 8.8). والبُعدان متساويان $n + 1$ : ومنه فالتطبيق $u$ تشاكل تقابلي — أي وجود مقايِس لاغرانج ووحدانيته (المبرهنة 8.23) في سطر واحد.

والنمط ذو السطر الواحد نفسه يعالج معطيات تخلط القيم و المشتقات: فالتطبيق $v \colon \R_3[X] \to \R^4$ و $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ خطي، وتتألف نواته من كثيرات حدود من الدرجة $\leq 3$ لها جذور مضاعفة عند $0$ و $1$ ، أي تقبل القسمة على $X^2(X-1)^2$ من الدرجة $4$ : ومنه لا يبقى إلا $P = 0$ . والبُعدان متساويان مرة أخرى: ومنه فكل رباعية معطيات $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ يحققها كثيرُ حدود تكعيبي واحد بالضبط — أي مقايسة إرميت، ممنوحةً بحساب نواة قبل كتابة أيّ صيغة (وتلقى مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 22 محدّدَها).

مثال 20.11 (مبرهنة الرتبة في العمل: مؤثر الفرق)

لتكن $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ و $P \mapsto P(X+1) - P(X)$ : وهو خطي. والنواة: إذا كان $\Delta P = 0$ ، فإن $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$ ، ومنه فللمقدار $P - P(0)$ جذور لا تُحصى وهو ينعدم (النتيجة 8.8): ومنه فالنواة $\ker\Delta$ هي مستقيم الثوابت. ومبرهنة الرتبة: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$ . ولأن $\deg \Delta P < \deg P$ من أجل $P$ غير ثابت (لأن الحدود العليا تتلاشى)، $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$ ، وبُعده $n$ بالضبط: ومنه فالاحتواء مساواة. والنتيجة، دون أيّ حساب للصور العكسية: كل كثير حدود $Q$ من الدرجة $\leq n - 1$ هو فرق $Q = P(X+1) - P(X)$ — أي إن الدالة الأصلية المتقطّعة موجودة. (وقارن مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 18، حيث قُلب $\Delta$ صراحةً في الأساس الثنائي.)

مثال 20.12 (مسك دفاتر الرتبة على امتداد تركيب)

على $\R_2[X]$ ، ركّب المشتقة $D(P) = P'$ (رتبتها $2$ : والصورة $\R_1[X]$ ، والنواة الثوابت) مع نفسها. عندئذ يرسل $D \circ D = D^2$ المقدارَ $P \mapsto P''$ ، وصورته $\R_0[X]$ : فالرتبة $1$ . وقارن بالحواصر العامة: يعطي الفجّ $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$ ؛ وتحاسب الصيغة المضبوطة في التمرين 20.12 الخسارةَ بدقة،

\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D - \dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,

لأن الثوابت (نواة $D$ الخارجي) تقع داخل $\R_1[X]$ (صورة $D$ الداخلي) ببُعد $1$ . فالرتبة تُفقد بالضبط حيث تكمن النواة الخارجية للصورة الداخلية — وهي الجملة الواجب حفظها حين تسيء رتب التركيب السلوك.

مثال 20.13 (نواة مؤثر أويلر وصورته)

على $\R_n[X]$ ، لتكن $u(P) = X\,P'$ (وهو خطي: لأن الاشتقاق و الضرب في $X$ خطيان). النواة: يفرض $XP' = 0$ أن $P' = 0$ (لأن جداء كثيرَي حدود لا ينعدم إلا إذا انعدم أحد العاملين)، ومنه فالنواة $\ker u$ هي مستقيم الثوابت. والصورة: على الأساس الوحيد الحدّ،

u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),

ومنه $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots, nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$ : أي كثيرات الحدود ذات الحدّ الثابت المعدوم. وللتحقق إزاء مبرهنة الرتبة: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$ ، وهو فعلًا البُعد الموجود. وملاحظتان جديرتان بالحفظ. الأولى، أنه هنا $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — لكن هذه مصادفة سعيدة لهذا المؤثر، لا مبرهنة: فمن أجل $v(P) = P'$ الشبيه بالإزاحة على $\R_1[X]$ ، $\ker v = \operatorname{im} v = \R_0[X]$ والمجموع ليس مباشرًا. والثانية، أن العلاقة $u(X^k) = kX^k$ تقول إن كل وحيد حدّ يُضرب في سلّم فحسب بالمقدار $u$ — أي أساسٌ مكيَّف مع التطبيق، وهو جرثومة فكرة القيمة الذاتية المطوَّرة في مجلّد السنة الثانية.

20.3 الإسقاطات والتماثلات

تعريف 20.14

ليكن $E = F \oplus G$ . الإسقاط على $F$ على امتداد $G$ يرسل $x = f + g$ (بالتفكيك الوحيد) إلى $p(x) = f$ ؛ والتماثل المرتبط به هو $s(x) = f - g$ . وكلاهما خطي، و $s = 2p - \mathrm{id}$ .

مبرهنة 20.15 (التمييز الجبري)

يكون التشاكل الذاتي $p$ إسقاطًا (على $F$ ما على امتداد $G$ ما) إذا وفقط إذا كان $p \circ p = p$ ؛ وعندئذ $F = \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ و $G = \ker p$ .
يكون التشاكل الذاتي $s$ تماثلًا إذا وفقط إذا كان $s \circ s = \mathrm{id}$ ؛ وعندئذ $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ .

برهان. (1) يحقق الإسقاط $p(f + g) = f$ و $p(f) = f$ : ومنه $p^2 = p$ . وبالعكس، ليكن $p^2 = p$ ؛ وضع $F = \operatorname{im} p$ و $G = \ker p$ . وكل $x$ يُكتب $x = p(x) + (x - p(x))$ مع $p(x) \in F$ و $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$ : ومنه $E = F + G$ . وإذا كان $y \in F \cap G$ : فإن $y = p(z)$ و $p(y) = 0$ ، ومنه $y = p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$ : فالمجموع مباشر، ويكون $p$ الإسقاطَ على $F$ على امتداد $G$ . وأخيرًا على $F$ : يعطي $y = p(z)$ أن $p(y) = y$ ، ومنه $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$ ، وبالعكس يضع $p(y) = y$ المقدارَ $y$ في الصورة.

(2) التقابل $s = 2p - \mathrm{id}$ و $p = \frac{s + \mathrm{id}}2$ تقابلٌ بين التشاكلات الذاتية، وتحته

s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id} \iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :

فتقابل التماثلاتُ الإسقاطاتِ بالضبط. وبترجمة الفضاءات الجزئية: $s(x) = x \iff p(x) = x$ ، ومنه $\ker(s - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$ ؛ و $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x \in \ker p = G$ ، ومنه $\ker(s + \mathrm{id}) = G$ . ويصير المجموع المباشر $E = F \oplus G$ في النقطة (1) التفكيكَ المعلن إلى المتجهات الصامدة والمتجهات المعكوسة للمقدار $s$ . ∎

مثال 20.16 (إسقاط وتماثله، صراحةً)

في $\R^2$ ، أسقط على $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . فكّك $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : تعطي الإحداثية الأولى $a = x$ ، والثانية $b = y - x$ . ومنه

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

وتحقق من الجبر: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ ، و $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . وهندسيًا، يكون $s$ هو «الانعكاس المائل» عبر المستقيم $y = x$ في الاتجاه العمودي: فهو يثبّت $F$ نقطةً نقطة ويعكس $G$ . ولو أسقطنا على $F$ نفسه على امتداد $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ بدل ذلك، لتغيرت الصيغة إلى $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : فالإسقاط يتحدد بصورته ونواته، لا بالصورة وحدها أبدًا.

الإسقاط على F = Vect(1,1) على امتداد G = Vect(0,1) وتماثله، على النقطة M = (2,\ 0.5): فبالانزلاق عموديًا، تصيب M الفضاءَ F عند p(M) = (2,2) وتحطّ عند s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)، على بعد فوق F (مقيسًا على امتداد G) بقدر ما كانت M تحته. — الإسقاط على $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ وتماثله، على النقطة $M = (2,\ 0.5)$ : فبالانزلاق عموديًا، تصيب $M$ الفضاءَ $F$ عند $p(M) = (2,2)$ وتحطّ عند $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ ، على بعد فوق $F$ (مقيسًا على امتداد $G$ ) بقدر ما كانت $M$ تحته.

20.4 الأشكال الخطية والمستويات الفائقة

تعريف 20.17

الشكل الخطي على $E$ هو تطبيق خطي $\varphi \colon E \to K$ . والمستوي الفائق في $E$ ( $\dim E = n$ ) هو فضاء جزئي بُعده $n - 1$ .

مثال 20.18 (شكل تقويم ومستويه الفائق)

على $\R_2[X]$ ، يكون التقويم $\varphi(P) = P(2)$ شكلًا خطيًا غير معدوم ( $\varphi(1) = 1$ ). ونواته هي المستوي الفائق لكثيرات الحدود المنعدمة عند $2$ ، أي (بمبرهنة العامل، المبرهنة 8.7) مضاعفات $X - 2$ داخل $\R_2[X]$ :

\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr), \qquad \dim = 2 .

وبالإحداثيات على $(1, X, X^2)$ ، $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$ : فكل شكل خطي على فضاء ذي بُعد منته هو، ما إن يُثبَّت أساس، عبارةٌ خطية مثبَّتة في الإحداثيات — فالأشكال «متجهات سطرية»، كما سيجعله الفصل 21 حرفيًا، وسطر المعاملات هنا، $(1, 2, 4)$ ، سطرُ فاندرموند: فأشكال التقويم هي كيف تدخل نظرية المقايسة في مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 22 إلى الجبر الخطي.

مبرهنة 20.19

المستويات الفائقة في $E$ هي بالضبط نوى الأشكال الخطية غير المعدومة. ولشكلين غير معدومين النواة نفسها إذا وفقط إذا كانا متناسبين.

برهان. إذا كان $\varphi \neq 0$ : فإن $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (لأن الصورة فضاء جزئي غير معدوم من $K$ )، ومنه $\dim\ker\varphi = n - 1$ : أي مستوٍ فائق. وبالعكس، ليكن $H$ مستويًا فائقًا، ولتكن $(e_1, \dots, e_{n-1})$ أساسًا للمقدار $H$ متمَّمًا بالمقدار $e_n$ : فللشكل «الإحداثية الأخيرة» نواةٌ $H$ .

والشكلان المتناسبان يتقاسمان نواتهما. وبالعكس، افترض $\ker\varphi = \ker\psi = H$ واختر $a \notin H$ : فكل $x$ يُكتب $x = h + \lambda a$ (لأن $E = H \oplus Ka$ )، و

\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):

ومنه $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$ . ∎

مثال 20.20

في $K^n$ ، يكون المستوي الفائق مجموعة حلول $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ مع عدم انعدام كل $a_i$ — أي المعادلة المألوفة لمستوٍ مارّ بالمبدأ في $\R^3$ . وفي فضاءات الدوال، تعرّف أشكال التقويم $P \mapsto P(1)$ أو $f \mapsto \int_0^1 f$ مستويات فائقة في $\R_n[X]$ وفي $C(\intcc{0}{1})$ (قارن التمرين 19.6).

مثال 20.21 (مستوٍ فائق واحد، معالَجًا بثلاث كيفيات)

خذ $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ على $\R^3$ و $H = \ker\varphi$ . الأساس: حُلَّ $x = 2y - 3z$ :

(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),

ومتجهتان حرتان: ومنه $\dim H = 2$ ، أي مستوٍ فائق، كما يتنبّأ المبرهنة 20.19 من $\varphi \neq 0$ . ومستقيم متتامّ: أيّ متجهة خارج $H$ تولّد واحدًا، مثلًا $a = (1, 0, 0)$ ( $\varphi(a) = 1 \neq 0$ )؛ و تفكيك $v$ كيفية صريح:

v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H} + \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},

لأن $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$ . والتناسب: إذا كان $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$ ، فإن $\psi = -2\varphi$ ولكليهما النواة $H$ ؛ وبالعكس، فأيّ شكل ينعدم على $H$ هو مضاعف للمقدار $\varphi$ (التمرين 20.8) — فمعادلة مستوٍ فائق وحيدة بغضّ النظر عن السلّم، وهي واقعة تُستعمل باستمرار من أجل المستويات في الهندسة.

ملاحظة 20.22 (مزالق شائعة)

النواة والصورة تعيشان في فضاءين مختلفين: $\ker u \subseteq E$ و $\operatorname{im} u \subseteq F$ ؛ والمجموع $\ker u + \operatorname{im} u$ لا معنى له إلا من أجل التشاكلات الذاتية، و حتى عندئذ ليس عليه أن يكون مباشرًا (فللتطبيق $u(x, y) = (y, 0)$ لدينا $\ker u = \operatorname{im} u$ ؛ ويميّز التمرين 20.7 متى يقع الانفصال). المقدار $u^2 = 0$ لا يعني $u = 0$ : فالتطبيق $u(x,y) = (y, 0)$ نفسه مربعه معدوم دون أن ينعدم — وما يقوله $u^2 = 0$ حقًا هو $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ (التمرين 20.5). المتباين $\iff$ الشامل يحتاج إلى بُعدين منتهيين متساويين: فعلى $K[X]$ ، تكون المشتقة شاملة لا متباينة، ويكون $P \mapsto XP$ متباينًا لا شاملًا (النتيجة 20.9)؛ وبين فضاءين ذوَي بُعدين مختلفين، يكون أحد الاستلزامين محالًا ببساطة ( $\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$ ). فرض الصور يجري على أساس، لا على أيّ عائلة: فطلب $u(1, 0) = a$ و $u(0, 1) = b$ و $u(1, 1) = c$ يحدّد $u$ تحديدًا زائدًا ما لم يكن $c = a + b$ ؛ فالتطبيق الخطي حرّ على أساس، ومستعبَد في كل ما عداه. الرتبة لا تُحفظ بالتركيب: فهي لا يمكن إلا أن تهبط، $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u, \operatorname{rk} v)$ (التمرين 20.4)، والخسارة المضبوطة مقيسةٌ في التمرين 20.12.

ملاحظة 20.23 (إلى أين تذهب هذه التطبيقات)

التطبيقات الخطية على وشك أن تصير مصفوفات: فما إن تُثبَّت الأسس، يرمّز الفصل 21 كلَّ $u \in \mathcal{L}(E, F)$ بجدول مستطيل، ويصير التركيب جداءَ مصفوفات — ثم تحرّك مبرهنة الرتبة نظرية الجمل الخطية في الفصل 22. وتعود الإسقاطات في الفصل 23 في حالتها الخاصة الأنفع، وهي الإسقاط المتعامد، حيث تُختار النواة عمودية على الصورة. وتدفع مسألة نهاية الأسبوع أدناه جبرَ المساقط إلى أبعد ما تبلغه أدوات السنة الأولى، حتى مبرهنة فيتينغ المساعدة؛ ويذهب مجلّد السنة الثانية أبعد بالأثر وبنظرية القيم الذاتية، وتكون فيها المساقط على الفضاءات الجزئية المستقرة لبنات البناء الأساسية.

ملاحظة 20.24 (منظورات داخل الكتاب 3: مبرهنة الرتبة ثلاث مرات أخرى)

سوف يُعاد قراءة قانون الحفظ $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ ثلاث مرات قبل نهاية المجلّد. ففي الفصل 22 يصير شكلَ مجموعات الحلول: فللجملة المتوافقة ذات $p$ مجهولًا ورتبة $r$ مجموعةُ حلول بُعدها $p - r$ — أي بُعد النواة متنكّرًا. وفي الفصل 23 ينقسم انقسامًا متعامدًا، $\dim F + \dim F^\perp = \dim E$ ، ويحرّك كل حساب مسافة. وفي مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 25، يكون محاسبَ المربعات الصغرى: $n$ رصدًا، و $2$ وسيطًا مقايَسين، و $n - 2$ بُعدًا للباقي، وتكون متطابقة فيثاغورس $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ ظلَّ مبرهنة الرتبة الإقليدي. مبرهنة واحدة وأربعة أزياء.

20.5 تمارين

تمرين 20.1 ★

أيّ التطبيقات خطي؟

$\R^2 \to \R^2$ ، $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ؛
$\R^2 \to \R$ ، $(x, y) \mapsto xy$ ؛
$\R[X] \to \R[X]$ ، $P \mapsto P' + XP$ ؛
$\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ ، $f \mapsto f(3)$ .

حل

حل التمرين 20.1.

(1) خطي: لأن الإحداثيات عبارات خطية. (2) غير خطي: $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$ . (3) خطي: لأن الاشتقاق و الضرب في $X$ خطيان، ومجاميع التطبيقات الخطية خطية. (4) خطي: لأن التقويم يحترم العمليات نقطةً نقطة.

تمرين 20.2 ★

لتكن $u \colon \R^3 \to \R^3$ و $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y + z,\; 3x + 2y)$ . حدّد $\ker u$ (بأساس وبُعد)، و $\operatorname{rk} u$ ، وأساسًا للمقدار $\operatorname{im} u$ . وهل $u$ متباين؟ وهل هو شامل؟

حل

حل التمرين 20.2.

النواة: حُلَّ $x + y - z = 0$ و $2x + y + z = 0$ و $3x + 2y = 0$ . ومن الثالثة، $y = -\frac{3x}{2}$ ؛ وتعطي الأولى $z = x + y = -\frac x2$ ؛ وتحقق في الثانية: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$ : فهي محققة. ومنه $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (بأخذ $x = 2$ )، والبُعد $1$ .

ومبرهنة الرتبة: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$ . والصورة: مولَّدة بصور الأساس القانوني، $u(e_1) = (1,2,3)$ و $u(e_2) = (1,1,2)$ و $u(e_3) = (-1,1,0)$ ؛ والأوليان حرتان، والرتبة $2$ : فالأساس $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$ .

وهو ليس متباينًا (لأن $\ker \neq \{0\}$ )، ولا شاملًا (لأن الرتبة $2 < 3$ ): وهذا متسق مع النتيجة 20.9.

تمرين 20.3 ★

لتكن $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ مع $P \mapsto P - P'$ . برهن على أن $u$ تشاكل تقابلي: مرةً عبر $\ker u$ ، ومرةً بإظهار المعكوس (انظر في $P + P' + P'' + \dots$ ).

حل

حل التمرين 20.3.

النواة: يفرض $P = P'$ أن $\deg P = \deg P'$ ما لم يكن $P = 0$ ؛ لكن $\deg P' < \deg P$ من أجل $P \neq 0$ : ومنه $\ker u = \{0\}$ ، ويكون $u$ ، وهو تشاكل ذاتي متباين للفضاء $\R_n[X]$ ذي البُعد المنتهي، تشاكلًا تقابليًا (النتيجة 20.9).

والمعكوس: لتكن $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (وهو مجموع منته على $\R_n[X]$ ). عندئذ

v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)} = P - P^{(n+1)} = P ,

بالتلسكوب، لأن $P^{(n+1)} = 0$ . ومنه $v = u^{-1}$ .

تمرين 20.4 ★

لتكن $u \in \mathcal{L}(E, F)$ و $v \in \mathcal{L}(F, G)$ ، والفضاءات ذات بُعد منته. برهن على:

\operatorname{rk}(v \circ u) \leq \min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).

حل

حل التمرين 20.4.

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq \operatorname{im} v$ : فالرتبة $\leq \operatorname{rk} v$ . و $v$ مقصورًا على $\operatorname{im} u$ صورته $\operatorname{im}(vu)$ ومع مبرهنة الرتبة داخل $\operatorname{im} u$ : $\operatorname{rk}(vu) \leq \dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$ .

تمرين 20.5 ★★

ليكن $u$ تشاكلًا ذاتيًا للمقدار $E$ (ذي بُعد منته) مع $u^2 = 0$ . برهن على أن $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ ، ومنه $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$ . ومن أجل $E = \R^2$ ، أعطِ مثالًا بالمساواة.

حل

حل التمرين 20.5.

$u^2 = 0$ يعني $u(u(x)) = 0$ من أجل كل $x$ : أي إن كل $u(x)$ يقع في $\ker u$ ، أي $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ . وعندئذ مبرهنة الرتبة:

\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .

ومثال المساواة في $\R^2$ : $u(x, y) = (y, 0)$ : $u^2 = 0$ ، و $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$ .

تمرين 20.6 ★★

ليكن $p, q$ إسقاطين للمقدار $E$ مع $p \circ q = q \circ p$ . برهن على أن $p \circ q$ إسقاط، مع

\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q , \qquad \ker (pq) = \ker p + \ker q .

حل

حل التمرين 20.6.

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (بالتبادل): فهو إسقاط (المبرهنة 20.15).

والصورة: $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$ ، و $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$ : فهي محتواة في التقاطع. وبالعكس، إذا كان $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ ، فإن $p(x) = x$ و $q(x) = x$ (لأن النقاط الصامدة تميّز صورة إسقاط)، ومنه $pq(x) = x$ : أي $x \in \operatorname{im}(pq)$ .

والنواة: $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ وكذلك $\ker q \subseteq \ker(pq)$ : فالمجموع محتوى. وبالعكس، ليكن $pq(x) = 0$ ، واكتب

x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} + \underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :

فالحدّ الأول يحقق $p(q(x)) = 0$ ، ومنه يقع في $\ker p$ ؛ و الثاني في $\ker q$ لأن $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$ . ومنه $x \in \ker p + \ker q$ .

تمرين 20.7 ★★

ليكن $u \in \mathcal{L}(E)$ مع $E$ ذي بُعد منته. برهن على تكافؤ:

$E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ؛
$\ker u = \ker u^2$ ؛
$\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

حل

حل التمرين 20.7.

لاحظ أولًا الاحتواءين العامين $\ker u \subseteq \ker u^2$ و $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ ، ومنه، بمبرهنة الرتبة، (2) $\iff$ (3) (فتساوي النوى $\iff$ تساوي الرتب $\iff$ تساوي الصور، بحكم الاحتواءين).

(1 $\Rightarrow$ 2): ليكن $u^2(x) = 0$ ؛ عندئذ $u(x) \in \ker u \cap \operatorname{im} u = \{0\}$ ، ومنه $x \in \ker u$ .

(2 $\Rightarrow$ 1): بغراسمان ومبرهنة الرتبة، $\dim(\ker u + \operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u)$ : فيكون المجموع $E$ إذا وفقط إذا كان التقاطع $\{0\}$ . وليكن $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$ : فإن $y = u(x)$ و $u(y) = 0$ ، ومنه $u^2(x) = 0$ ، ومنه (حسب (2)) $u(x) = 0$ : أي $y = 0$ . ومنه $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ .

تمرين 20.8 ★★

ليكن $\varphi, \psi$ شكلين خطيين على $E$ مع $\ker\varphi \subseteq \ker\psi$ . برهن على $\psi = \lambda\varphi$ من أجل $\lambda \in K$ ما (بما في ذلك الحالات المنحلّة).

حل

حل التمرين 20.8.

إذا كان $\varphi = 0$ : فإن $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ يفرض $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$ . وإذا كان $\varphi \neq 0$ : فإن $\ker\varphi$ مستوٍ فائق؛ فاختر $a \notin \ker\varphi$ . ضع $\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$ . والشكل $\psi - \lambda\varphi$ ينعدم على $\ker\varphi$ (لأن كليهما كذلك، بحكم الاحتواء) وعند $a$ : ومنه ينعدم على $\ker\varphi \oplus Ka = E$ . ومنه $\psi = \lambda\varphi$ .

تمرين 20.9 ★★★

ليكن $u \in \mathcal{L}(E)$ مع $\dim E = n$ ، ولنفترض $u^n = 0$ لكن $u^{n-1} \neq 0$ (أي تشاكل ذاتي معدوم القوى أكبريًا). اختر $x$ يحقق $u^{n-1}(x) \neq 0$ ؛ وبرهن على أن $\bigl(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x)\bigr)$ أساس للمقدار $E$ . (طبّق قوى $u$ على تركيبة معدومة، بادئًا بالمقدار $u^{n-1}$ .)

حل

حل التمرين 20.9.

افترض $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x) = 0$ . وطبّق $u^{n-1}$ : فتموت كل الحدود ذات العامل $u^{\geq n}$ ، ويبقى $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$ ، ومنه $\lambda_0 = 0$ . وطبّق $u^{n-2}$ على العلاقة الباقية: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$ ، ومنه $\lambda_1 = 0$ ؛ وهكذا. فالعائلة حرة؛ وبحجم $n = \dim E$ ، تكون أساسًا (القضية 19.8). (وفي هذا الأساس، يفعل $u$ فعلَ إزاحة — وهو نموذج انعدام القوى الأكبري.)

تمرين 20.10 ★★★

لتكن $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ مع $f \circ f = -\mathrm{id}$ .

برهن على أن $f$ تشاكل تقابلي وعلى أنه لا يوجد $x \neq 0$ يحقق $f(x) = \lambda x$ مع $\lambda \in \R$ .
برهن على أن $n$ زوجي. إرشاد: اختر $x_1 \neq 0$ ؛ وبيّن أن $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ مستوٍ مستقر تحت $f$ ؛ واختر $x_2$ خارجه وكرّر، مبرهنًا على أن $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ تبقى حرة.

حل

حل التمرين 20.10.

$f \circ f = -\mathrm{id}$ تقابلي، ومنه فالتطبيق $f$ كذلك (القضية 1.26 مكيَّفًا: لأن للمقدار $f$ المعكوسَ الثنائي الجهة $-f$ ). وإذا كان $f(x) = \lambda x$ مع $x \neq 0$ : فبتطبيق $f$ ، $-x = \lambda^2 x$ ، ومنه $\lambda^2 = -1$ : وهذا محال في $\R$ .
ابنِ العائلة بجشع. خذ $x_1 \neq 0$ : فالعائلة $(x_1, f(x_1))$ حرة حسب (1). وإذا كان $\operatorname{Vect}$ للعائلة الحالية $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k, f(x_k)\bigr)$ ، ولنسمّه $V_k$ — وهو فضاء جزئي مستقر تحت $f$ (لأن كل مولّد يُرسل إلى مولّد آخر أو مقابله: $f(f(x_i)) = -x_i$ ) — ليس كل $E$ ، فاختر $x_{k+1} \notin V_k$ . والادعاء: العائلة الموسَّعة حرة. افترض $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ مع $v \in V_k$ و $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$ . وطبّق $f$ : $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ مع $f(v) \in V_k$ . وأزل $f(x_{k+1})$ بين العلاقتين (اضرب الأولى في $\alpha$ ، والثانية في $-\beta$ ، و اجمع):

$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$

ويفرض $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ أن $x_{k+1} \in V_k$ : وهذا تناقض. ومنه يستمر البناء، مضيفًا متجهات اثنتين في كل مرة، حتى $V_k = E$ : فتكون العائلة النهائية أساسًا بحجم زوجي، ويكون $n$ زوجيًا.

تمرين 20.11 ★★

لتكن $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$ ، والفضاءات ذات بُعد منته. برهن على الحصر ذي الطرفين

\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v} \;\leq\; \operatorname{rk}(u + v) \;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .

(من أجل الحاصر الأعلى، قارن $\operatorname{im}(u+v)$ بالمقدار $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ ؛ ومن أجل الأدنى، طبّق الحاصر الأعلى بذكاء.)

حل

حل التمرين 20.11.

الحاصر الأعلى: من أجل كل $x$ ، $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in \operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ ، ومنه

\operatorname{rk}(u + v) \leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v

(غراسمان، المبرهنة 19.18). والحاصر الأدنى: طبّق الحاصر الأعلى على الزوج $(u + v, -v)$ ، ومجموعه $u$ :

\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk} v,

ومنه $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq \operatorname{rk}(u+v)$ ؛ وبتبادل $u$ و $v$ نجد القيمة المطلقة.

تمرين 20.12 ★★★

(متراجحة فروبينيوس) لتكن $u \in \mathcal{L}(E, F)$ و $w \in \mathcal{L}(F, G)$ و $v \in \mathcal{L}(G, H)$ ، وكل الفضاءات ذات بُعد منته. برهن على الصيغة المضبوطة

\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w - \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),

واستنتج متراجحة فروبينيوس

\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u) \;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ u) .

وتحقق من أن الحالة $w = \mathrm{id}_F$ هي متراجحة سيلفستر، المبرهن عليها في صورة مصفوفات في التمرين 21.10.

حل

حل التمرين 20.12.

الصيغة المضبوطة. ليكن $v'$ قصر $v$ على الفضاء الجزئي $\operatorname{im} w$ . فصورته هي $v(w(F)) = \operatorname{im}(v \circ w)$ ، ونواته هي $\ker v \cap \operatorname{im} w$ . ومبرهنة الرتبة من أجل $v'$ على الفضاء $\operatorname{im} w$ :

\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w = \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap \operatorname{im} w) .

وفروبينيوس. طبّق الصيغة المضبوطة مرتين، على $w$ وعلى $w \circ u$ :

\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr), \qquad \operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .

ولأن $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$ ، يكون التقاطع الثاني محتوًى في الأول، وبُعده ليس أكبر:

\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) \;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,

وهذا يُعاد ترتيبه ليعطي متراجحة فروبينيوس. ومع $w = \mathrm{id}_F$ (والرتبة $\dim F$ ، و $\operatorname{im}\, \mathrm{id}_F = F$ ): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u \leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$ ، وهي متراجحة سيلفستر — مبرهنًا عليها مرة أخرى، في صورة مصفوفات، في التمرين 21.10.

20.6 مسألة: حساب المساقط ومبرهنة فيتينغ المساعدة

مسألة 20.1

الإسقاطات هي التشاكلات الذاتية التي تنتجها المجاميع المباشرة، وبالعكس: فكل متطابقة $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ هي سرًّا عائلةُ مساقط مجموعها التطبيق المطابق. وتطوّر هذه المسألة ذلك القاموس — جبر مسقط واحد، ومسقطين، و $k$ مسقطًا — ثم تطبّق أفكار الاستقرار نفسها على تشاكل ذاتي كيفي وتبرهن على مبرهنة فيتينغ المساعدة: أي إن كل تشاكل ذاتي لفضاء ذي بُعد منته ينقسم إلى جزء معدوم القوى وجزء قابل للقلب. وفي كل ما يأتي، $E$ فضاء متجهي على $K$ بُعده $n$ ، وتعني المسقط $p \in \mathcal{L}(E)$ مع $p^2 = p$ (المبرهنة 20.15).

الجزء 1 — الجبر حول مسقط واحد. ليكن $p$ مسقطًا، مع $p \neq 0$ و $p \neq \mathrm{id}$ .

بيّن أن $\mathrm{id} - p$ مسقط وعيّن $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ و $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
احسب $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ وحدّد كل الأزواج $(\lambda, \mu) \in K^2$ التي يكون من أجلها $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ مسقطًا.
بيّن أن المستوي $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ من $\mathcal{L}(E)$ مستقر بالتركيب، وأنه من أجل كل كثير حدود $Q \in K[X]$ ،

$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .$
حدّد من أجل أيّ $(\lambda, \mu)$ يكون التطبيق $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ قابلًا للقلب، وأعطِ معكوسه في الصورة $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . وفسّر الجواب عبر فعل $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ على $\operatorname{im} p$ وعلى $\ker p$ .
ليكن $p'$ مسقطًا آخر له الصورة نفسها $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . بيّن أن $p\,p' = p'$ و $p'\,p = p$ . وماذا تقول هاتان المتطابقتان عن تركيب الإسقاطات على الفضاء الجزئي نفسه على امتداد نوى مختلفة؟

الجزء 2 — مسقطان. ليكن $p, q$ مسقطين للمقدار $E$ ؛ ولنفترض أن المميّز ليس $2$ (وهذا صحيح من أجل $K = \R, \C$ ).

افترض أن $p + q$ مسقط. وبنشر $(p + q)^2$ ، بيّن $pq + qp = 0$ ؛ وبالتركيب مع $p$ من اليسار، ثم من اليمين، استنتج $pq = qp$ ، واختم بأن $pq = qp = 0$ .
وبالعكس، افترض $pq = qp = 0$ . بيّن أن $p + q$ مسقط، مع

$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q, \qquad \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$
بيّن أن $p - q$ مسقط إذا وفقط إذا كان $pq = qp = q$ . (طبّق السؤالين 6–7 على $\mathrm{id} - p$ و $q$ .)
بيّن المعنى الهندسي للمقدار $pq = qp = q$ : فهو يصحّ إذا وفقط إذا كان $\operatorname{im} q \subseteq \operatorname{im} p$ و $\ker p \subseteq \ker q$ . (ويُكتب عندئذ $q \leq p$ : « $q$ يسقط على أقلّ، على امتداد أكثر».)
ولنفترض الآن أن $p, q$ يتبادلان. وتذكّر من التمرين 20.6 أن $pq$ هو المسقط على $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ على امتداد $\ker p + \ker q$ . بيّن أن $r = p + q - pq$ مسقط مع

$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q, \qquad \ker r = \ker p \cap \ker q .$

(انظر في $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q)$ .)

الجزء 3 — تفكيكات التطبيق المطابق.

ليكن $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ و، من أجل $x = x_1 + \dots + x_k$ (بالتفكيك الوحيد، $x_i \in F_i$ )، ضع $p_i(x) = x_i$ . بيّن أن كل $p_i$ مسقط، وأن $p_i p_j = 0$ من أجل $i \neq j$ ، وأن $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ ؛ وعيّن $\operatorname{im} p_i$ و $\ker p_i$ .
وبالعكس، لتحقق $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ الشرطين $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ و $p_i p_j = 0$ من أجل كل $i \neq j$ . بيّن أن كل $p_i$ مسقط وأن $E = \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ .
مسقطان مع $p + q = \mathrm{id}$ : بيّن أن $pq = qp = 0$ يتحقق تلقائيًا.
ثلاثة مساقط مع $p + q + r = \mathrm{id}$ : بيّن أن $p + q$ مسقط، واستنتج من السؤال 6 أن كل الجداءات مثنى مثنى تنعدم — ومنه $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ ، دون أيّ فرض على الجداءات.
من أجل $k$ مسقطًا مع $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ : بيّن أولًا أنه من أجل أيّ فضاءات جزئية، $\dim (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ ، مع المساواة إذا وفقط إذا كان المجموع مباشرًا؛ ثم بيّن $E = \operatorname{im} p_1 + \dots + \operatorname{im} p_k$ ، وبرهن على أنه إذا كان فوق ذلك $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ ، فإن المجموع مباشر و $p_i p_j = 0$ من أجل $i \neq j$ .

الجزء 4 — النوى المكرَّرة: مبرهنة فيتينغ المساعدة. ليكن $u \in \mathcal{L}(E)$ مع $\dim E = n$ .

بيّن السلسلتين الصحيحتين من أجل كل $k \geq 0$ :

$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1}, \qquad \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im} u^k .$
بيّن أنه إذا كان $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ من أجل $r$ ما، فإن $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ من أجل كل $k \geq r$ ؛ واذكر الاستقرار النظير من أجل الصور وبرهن عليه.
استنتج أنه يوجد أصغر عدد صحيح $r$ يحقق $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ ، وأن $r \leq n$ ، وأن الصور تستقر عند $r$ نفسه.
(مبرهنة فيتينغ المساعدة) برهن على أن

$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$
بيّن أن الفضاءين الجزئيين مستقران تحت $u$ ، وأن قصر $u$ على $\ker u^{r}$ معدوم القوى، وأن قصر $u$ على $\operatorname{im} u^{r}$ تشاكل تقابلي للمقدار $\operatorname{im} u^{r}$ : أي إن كل تشاكل ذاتي هو، على مجموع مباشر قانوني، «معدوم القوى زائد قابل للقلب».
ليكن $\pi$ المسقط على $\ker u^{r}$ على امتداد $\operatorname{im} u^{r}$ . بيّن أن $\pi \circ u = u \circ \pi$ .

الجزء 5 — حالة معالَجة، وتوليفة.

لتكن $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ على $\R^3$ . احسب $u^2$ و $u^3$ ، وحدّد دليل الاستقرار $r$ ، والفضاءين الجزئيين $\ker u^{r}$ و $\operatorname{im} u^{r}$ ، ومسقط فيتينغ $\pi$ ، وتحقق على الصيغ من أن $\pi u = u\pi$ ومن أن $u$ معدوم القوى على عامل، وتقابلي على الآخر.
بيّن التكافؤات: يكون $u$ معدوم القوى $\iff$ $\ker u^{r} = E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ؛ واستنتج أن التشاكل الذاتي المعدوم القوى لفضاء ذي بُعد $n$ يحقق دائمًا $u^{n} = 0$ (فدليل انعدام القوى لا يتجاوز البُعد أبدًا).
(الوحدانية) افترض $E = A \oplus B$ مع $A, B$ مستقرين تحت $u$ ، وقصر $u|_A$ معدوم القوى و $u|_B$ تقابلي. برهن على $A = \ker u^{r}$ و $B = \operatorname{im} u^{r}$ : أي إن تفكيك فيتينغ وحيد.
توليفة، في أربع جمل: أيّ قاموس يؤسّسه الجزء 3 بين المجاميع المباشرة وعائلات المساقط؛ ولماذا لم يحتج السؤال 14 إلى أيّ فروض على الجداءات بينما احتاج السؤال 15 إلى فرض على الرتبة (وأيّ أداة من السنة الثانية، وهي الأثر، تزيله)؛ وبأيّ معنى تكون مبرهنة فيتينغ المساعدة الصيغةَ المستقرة للمقدار التمرين 20.7؛ وماذا يصير عاملا فيتينغ في نظرية القيم الذاتية في مجلّد السنة الثانية. وسمِّ المبرهنة المبرهن عليها في الجزء 4.

حل

حل المسألة 20.1.

1. $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 = \mathrm{id} - p$ : أي مسقط. وإذا كان $y = x - p(x)$ ، فإن $p(y) = p(x) - p^2(x) = 0$ ، وبالعكس يعطي $x \in \ker p$ أن $x = (\mathrm{id} - p)(x)$ : ومنه $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ . و $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in \operatorname{im} p$ (بالنقاط الصامدة، المبرهنة 20.15): $\ker(\mathrm{id} - p) = \operatorname{im} p$ .

2. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 = \lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$ . والزوج $(\mathrm{id}, p)$ حرّ في $\mathcal{L}(E)$ : إذ إن $p = c\, \mathrm{id}$ سيعطي $c^2 = c$ ، ومنه $p = 0$ أو $\mathrm{id}$ ، وهما مستبعدان. وبمطابقة المعاملات، يكون التطبيق مسقطًا إذا وفقط إذا كان $\lambda^2 = \lambda$ و $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$ . ومن أجل $\lambda = 0$ : $\mu \in \{0, 1\}$ . ومن أجل $\lambda = 1$ : $\mu^2 + \mu = 0$ و $\mu \in \{0, -1\}$ . أي أربعة مساقط بالضبط في المستوي: $0$ و $p$ و $\mathrm{id}$ و $\mathrm{id} - p$ .

3. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id} + \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' + \mu\lambda' + \mu\mu')\,p$ : ومنه فالمستوي مستقر بالتركيب. ولأن $p^k = p$ من أجل كل $k \geq 1$ ، فإنه من أجل $Q = \sum_k a_k X^k$ :

Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .

4. على $\operatorname{im} p$ (حيث يفعل $p$ فعل التطبيق المطابق)، يضرب $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ في $\lambda + \mu$ ؛ وعلى $\ker p$ ، في $\lambda$ . ولأن $E = \operatorname{im} p \oplus \ker p$ ، يكون التطبيق تقابليًا إذا وفقط إذا كان $\lambda \neq 0$ و $\lambda + \mu \neq 0$ . وبحلّ $\lambda\alpha = 1$ و $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ في قاعدة التركيب في السؤال 3:

(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1} = \frac1\lambda\,\mathrm{id} - \frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,

وفعله بالمقدار $1/\lambda$ على $\ker p$ وبالمقدار $1/(\lambda + \mu)$ على $\operatorname{im} p$ ، كما يجب.

5. اكتب $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im} p'$ . فمن أجل كل $x$ ، يكون $p'(x) \in F$ ويثبّت $p$ الفضاءَ $F$ نقطةً نقطة: ومنه $p(p'(x)) = p'(x)$ ، أي $p\,p' = p'$ ؛ وبالتناظر $p'\,p = p$ . وحين يتقاسم إسقاطان صورتهما، يفصل المطبَّق أولًا: لأن مخرجه يقع أصلًا في $F$ ، حيث يفعل الإسقاط الخارجي فعل التطبيق المطابق ولا يغيّر شيئًا.

6. $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$ ، ومنه يفرض كون $p + q$ مسقطًا أن $pq + qp = 0$ . وركّب من اليسار مع $p$ : $pq + pqp = 0$ ؛ ومن اليمين مع $p$ : $pqp + qp = 0$ . وبالطرح، $pq = qp$ ؛ ثم $pq + qp = 2pq = 0$ و المميّز ليس $2$ : ومنه $pq = qp = 0$ .

7. مع $pq = qp = 0$ ، يعطي النشر نفسه $(p + q)^2 = p + q$ . والصورة: $\operatorname{im}(p + q) \subseteq \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ دائمًا. وبالعكس، من أجل $x \in \operatorname{im} p$ : $q(x) = q(p(x)) = 0$ ، ومنه $(p + q)(x) = p(x) = x$ و $x \in \operatorname{im}(p+q)$ ؛ وكذلك من أجل $\operatorname{im} q$ . والانفصال: يعطي $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ أن $x = p(x) = p(q(x)) = 0$ . والنواة: إذا كان $p(x) + q(x) = 0$ ، فإن تطبيق $p$ يعطي $p(x) + p(q(x)) = p(x) = 0$ ، وتطبيق $q$ يعطي $q(x) = 0$ : ومنه $\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q$ (والاحتواء العكسي جليّ).

8. يكون $p - q$ مسقطًا إذا وفقط إذا كان $\mathrm{id} - (p - q) = (\mathrm{id} - p) + q$ مسقطًا (بالسؤال 1 مرتين). وحسب السؤالين 6–7 مطبَّقين على المسقطين $\mathrm{id} - p$ و $q$ ، يصحّ هذا إذا وفقط إذا كان $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$ ، أي إذا وفقط إذا كان $pq = q$ و $qp = q$ .

9. $pq = q$ يعني أن $p$ يثبّت كل $q(x)$ ، أي $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p$ . و $qp = q$ يعني $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr) = 0$ من أجل كل $x$ ، أي أن $q$ ينعدم على $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ : ومنه $\ker p \subseteq \ker q$ . والخطوتان تكافؤان: فالترتيب $q \leq p$ يقول إن $q$ يسقط على صورة أصغر، على امتداد نواة أكبر.

10. بالنشر، $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) = \mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$ . والمسقطان $\mathrm{id} - p$ و $\mathrm{id} - q$ يتبادلان، ومنه، حسب التمرين 20.6، يكون جداؤهما $\mathrm{id} - r$ هو المسقط على $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap \operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ على امتداد $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ . وحسب السؤال 1، يكون $r = \mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ عندئذ المسقط مع $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ و $\ker r = \ker p \cap \ker q$ .

11. المقدار $p_i$ معرَّف جيدًا (بوحدانية التفكيك) وخطي (لأن تفكيك $x + \lambda y$ هو مجموع التفكيكين، بالوحدانية مرة أخرى). ومن أجل $x_i \in F_i$ يكون التفكيك $x_i$ نفسه، ومنه $p_i(x_i) = x_i$ : أي $p_i^2 = p_i$ ، و $p_j(x_i) = 0$ من أجل $j \neq i$ : ومنه $p_i p_j = 0$ (لأن $p_j(x) \in F_j$ ). وبجمع المركّبات، $\sum_i p_i = \mathrm{id}$ . وأخيرًا $\operatorname{im} p_i = F_i$ و $\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$ .

12. $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j = p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$ : فكل $p_i$ مسقط. وكل $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ يقع في $\sum_i \operatorname{im} p_i$ : ومنه تُجمع الصور إلى $E$ . والانفصال: افترض $y_1 + \dots + y_k = 0$ مع $y_i \in \operatorname{im} p_i$ ، ومنه $p_i(y_i) = y_i$ . وطبّق $p_j$ : $p_j (y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ من أجل $i \neq j$ ، ومنه $0 = p_j\bigl(\sum y_i\bigr) = y_j$ من أجل كل $j$ . ومنه $E = \bigoplus_i \operatorname{im} p_i$ .

13. $q = \mathrm{id} - p$ ، ويعطي السؤال 1 $pq = p - p^2 = 0 = qp$ مباشرة: فمن أجل مسقطين، يفرض كون مجموعهما التطبيقَ المطابق تعامدَ الزوج أصلًا.

14. $p + q = \mathrm{id} - r$ مع $r$ مسقطًا، و $(\mathrm{id} - r)$ مسقط (السؤال 1): ومنه فالمقدار $p + q$ مسقط، ويعطي السؤال 6 أن $pq = qp = 0$ . وبالتناظر ( $q + r = \mathrm{id} - p$ و $p + r = \mathrm{id} - q$ )، تنعدم كل الجداءات مثنى مثنى، ويختم السؤال 12: $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ ، تلقائيًا.

15. مبرهنة مساعدة. بالاستقراء مع غراسمان (المبرهنة 19.18):

\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .

وإذا كان المجموع الكلي مساواةً، فكل خطوة كذلك: $(F_1 + \dots + F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ من أجل كل $j$ ، وتنهار علاقة $y_1 + \dots + y_k = 0$ ( $y_i \in F_i$ ) من اليمين: $y_k \in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$ ، ثم $y_{k-1} = 0$ ، وهكذا: فالمجموع مباشر. وبالعكس فللمجموع المباشر أبعاد جمعية (بوصل الأسس). والتطبيق: يبيّن $x = \sum_i p_i(x)$ أن $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$ ، ومنه $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$ ؛ ويعطي الفرض المساواة، ومنه الانفصال. والجداءات: ثبّت $j$ و $y \in \operatorname{im} p_j$ . عندئذ $y = \sum_i p_i(y)$ مع $p_i(y) \in \operatorname{im} p_i$ ، بينما $y = y$ تفكيكٌ كذلك (بالمركّبة $j$ وحدها)؛ وتفرض الوحدانية أن $p_i(y) = 0$ من أجل $i \neq j$ . وبتطبيق ذلك على $y = p_j(x)$ : $p_i p_j = 0$ .

16. إذا كان $u^k(x) = 0$ فإن $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$ . و $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq u^k(E) = \operatorname{im} u^k$ .

17. افترض $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ وليكن $x \in \ker u^{r+2}$ : عندئذ $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$ ، ومنه $u^{r+1}(x) = 0$ : أي $x \in \ker u^{r+1}$ . ومع السؤال 16، $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$ ، وبالاستقراء تتطابق كل النوى اللاحقة مع $\ker u^{r}$ . وأمّا الصور: فتعطي مبرهنة الرتبة $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$ ، ومنه تتجمّد أبعاد الصور بالضبط حين تتجمّد أبعاد النوى، ومع احتواءات السؤال 16، يعني تساوي الأبعاد تساوي الفضاءات الجزئية (المبرهنة 19.14).

18. المتتالية $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ غير متناقصة وقيمها في $\intint{0}{n}$ ؛ ولا يمكنها أن تتزايد تزايدًا قطعيًا $n + 1$ مرة، ومنه فإن $\dim\ker u^{r} = \dim\ker u^{r+1}$ ما مع $r \leq n$ ، ومنه $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (بالاحتواء مع تساوي البُعد). وخذ $r$ أصغريًا؛ ويجمّد السؤال 17 كل شيء ابتداءً من $r$ ، بما فيه الصور.

19. التقاطع: ليكن $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im} u^{r}$ ، ولنقل $x = u^{r}(y)$ مع $u^{r}(x) = 0$ . عندئذ $u^{2r}(y) = 0$ ، و $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (السؤال 17)، ومنه $x = u^{r}(y) = 0$ . والأبعاد: تعطي مبرهنة الرتبة من أجل $u^{r}$ أن $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n$ ؛ ومع التقاطع البديهي، يجعل غراسمان المجموعَ فضاءً جزئيًا بُعده $n$ : ومنه $E = \ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$ .

20. الاستقرار: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ من أجل $x \in \ker u^{r}$ ؛ و $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in \operatorname{im} u^{r}$ . وعلى $N = \ker u^{r}$ : $(u|_N)^{r} = 0$ بحكم تعريف $N$ : فهو معدوم القوى. وعلى $I = \operatorname{im} u^{r}$ : $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I = \{0\}$ ، ومنه فالمقدار $u|_I$ تشاكل ذاتي متباين للفضاء $I$ ذي البُعد المنتهي، ومنه تقابلي (النتيجة 20.9).

21. ليكن $x = a + b$ مع $a \in N$ و $b \in I$ . عندئذ $u(x) = u(a) + u(b)$ مع $u(a) \in N$ و $u(b) \in I$ (السؤال 20): وهذا هو تفكيك $u(x)$ ، ومنه $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$ : أي $\pi u = u\pi$ .

22. $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ و $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$ . والنوى: $\ker u = \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$ و $\ker u^2 = \{z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ و $\ker u^3 = \ker u^2$ : فالاستقرار عند $r = 2$ . والصور: $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_3)$ و $\operatorname{im} u^2 = \operatorname{Vect}(e_3)$ . وفيتينغ: $\R^3 = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$ ، و $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$ . وللتحقق: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z) = (y, 0, 0)$ و $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ : فهما متساويان. وعلى العامل الأول $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ ، ومربعه $0$ : فهو معدوم القوى؛ وعلى الثاني $u(0,0,z) = (0,0,z)$ : أي التطبيق المطابق، وهو تقابلي.

23. إذا كان $u^m = 0$ فإن $\ker u^m = E$ ؛ ولأن النوى مجمَّدة ابتداءً من $r$ ، $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$ . وبالعكس يعني $\ker u^{r} = E$ أن $u^{r} = 0$ . و $\ker u^{r} = E \iff$ يكون مسقط فيتينغ على $E$ على امتداد $\{0\}$ ، أي $\pi = \mathrm{id}$ . وأخيرًا يعطي $r \leq n$ (السؤال 18): أن كل تشاكل ذاتي معدوم القوى يحقق $u^{n} = 0$ — فدليل انعدام القوى لا يتجاوز البُعد أبدًا.

24. ليكن $m$ دليل انعدام قوى للمقدار $u|_A$ : $A \subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$ . ولأن $u|_B$ تقابلي، $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq \operatorname{im} u^{k}$ من أجل كل $k$ ، وعلى الخصوص $B \subseteq \operatorname{im} u^{r}$ . عندئذ

n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n :

والاحتواءان مساواتان في الأبعاد، ومنه في الفضاءات الجزئية: $A = \ker u^{r}$ و $B = \operatorname{im} u^{r}$ .

25. (أ) الجزء 3 قاموس: فالانقسامات $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ تقابل بالضبط عائلات المساقط ذات $\sum p_i = \mathrm{id}$ و $p_i p_j = 0$ ، وتكون المقادير $F_i$ هي الصور. (ب) ومن أجل $k = 3$ تكون المتممات $\mathrm{id} - p_i$ نفسها مساقط، وهذا أغلق الحجة دون أيّ فرض إضافي؛ وأمّا من أجل $k$ عام فيلزم $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ ، وهي متراجحة يعطيها أثر السنة الثانية بالمجّان ( $\operatorname{tr} p = \operatorname{rk} p$ من أجل مسقط، والآثار تُجمع إلى $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$ ). (ج) و التمرين 20.7 هي مبرهنة فيتينغ المساعدة في الحالة المستقرة أصلًا $r \leq 1$ ؛ وفي العموم يُترك تجمّدُ سلسلتَي النواة والصورة، وهو يستغرق $n$ خطوة على الأكثر. (د) وفي مجلّد السنة الثانية، مطبَّقةً على $u - \lambda\, \mathrm{id}$ ، يصير العامل المعدوم القوى الفضاءَ الذاتي المعمَّم عند $\lambda$ وتصير مساقط الجزء 3 المساقطَ الطيفية في نظرية التقطير. ومبرهنة الجزء 4 هي مبرهنة فيتينغ المساعدة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد