Qu'est-ce que « projection » ? — Mathématiques

Définition 20.14 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 20 — Applications linéaires

Soit $E = F \oplus G$ . La projection sur $F$ parallèlement à $G$ envoie $x = f + g$ (décomposition unique) sur $p(x) = f$ ; la symétrie associée est $s(x) = f - g$ . Toutes deux sont linéaires, et $s = 2p - \mathrm{id}$ .

La projection sur F = Vect(1,1) parallèlement à G = Vect(0,1) et sa symétrie, sur le point M = (2,\ 0.5) : en glissant verticalement, M atteint F en p(M) = (2,2) et arrive en s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), aussi loin au-dessus de F (mesuré le long de G) que M était en dessous. — La projection sur $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ et sa symétrie, sur le point $M = (2,\ 0.5)$ : en glissant verticalement, $M$ atteint $F$ en $p(M) = (2,2)$ et arrive en $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , aussi loin au-dessus de $F$ (mesuré le long de $G$ ) que $M$ était en dessous.

Exemples

Exemple 20.16 (Une projection et sa symétrie, explicitement)

Dans $\R^2$ , projetons sur $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Décomposons $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : la première coordonnée donne $a = x$ , la seconde $b = y - x$ . D’où

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Vérifions l’algèbre : $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ , et $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Géométriquement, $s$ est la « réflexion oblique » par rapport à la droite $y = x$ dans la direction verticale : elle fixe $F$ point par point et retourne $G$ . Si nous avions projeté sur le même $F$ parallèlement à $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ , la formule deviendrait $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : une projection est déterminée par son image et par son noyau, jamais par la seule image.

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