¿Qué es proyección? — Matemáticas

Definición 20.14 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 20 — Aplicaciones lineales

Sea $E = F \oplus G$ . La proyección sobre $F$ paralelamente a $G$ lleva $x = f + g$ (descomposición única) a $p(x) = f$ ; la simetría asociada es $s(x) = f - g$ . Las dos son lineales, y $s = 2p - \mathrm{id}$ .

La proyección sobre F = Vect(1,1) paralelamente a G = Vect(0,1) y su simetría, sobre el punto M = (2,\ 0.5): deslizándose verticalmente, M llega a F en p(M) = (2,2) y aterriza en s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), tan por encima de F (medido a lo largo de G) como M estaba por debajo. — La proyección sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ y su simetría, sobre el punto $M = (2,\ 0.5)$ : deslizándose verticalmente, $M$ llega a $F$ en $p(M) = (2,2)$ y aterriza en $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , tan por encima de $F$ (medido a lo largo de $G$ ) como $M$ estaba por debajo.

Ejemplos

Ejemplo 20.16 (Una proyección y su simetría, explícitamente)

En $\R^2$ , proyéctese sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Descompóngase $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : la primera coordenada da $a = x$ y la segunda, $b = y - x$ . Por tanto,

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Compruébese el álgebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ y $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Geométricamente, $s$ es la «reflexión oblicua» respecto de la recta $y = x$ en la dirección vertical: deja $F$ fijo punto a punto e invierte $G$ . Si hubiéramos proyectado sobre el mismo $F$ pero paralelamente a $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ , la fórmula cambiaría a $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : una proyección queda determinada por su imagen y su núcleo, nunca por la imagen sola.

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