Wat is projectie? — Wiskunde

Definitie 20.14 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 20 — Lineaire afbeeldingen

Zij $E = F \oplus G$ . De projectie op $F$ langs $G$ beeldt $x = f + g$ (eenduidige ontbinding) af op $p(x) = f$ ; de bijbehorende symmetrie is $s(x) = f - g$ . Beide zijn lineair, en $s = 2p - \mathrm{id}$ .

De projectie op F = Vect(1,1) langs G = Vect(0,1) en haar symmetrie, op het punt M = (2,\ 0.5): verticaal glijdend raakt M de rechte F in p(M) = (2,2) en landt hij in s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), even ver boven F (gemeten langs G) als M eronder lag. — De projectie op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ en haar symmetrie, op het punt $M = (2,\ 0.5)$ : verticaal glijdend raakt $M$ de rechte $F$ in $p(M) = (2,2)$ en landt hij in $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , even ver boven $F$ (gemeten langs $G$ ) als $M$ eronder lag.

Voorbeelden

Voorbeeld 20.16 (Een projectie en haar symmetrie, expliciet)

Projecteer in $\R^2$ op $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ langs $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Ontbind $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : de eerste coördinaat geeft $a = x$ , de tweede $b = y - x$ . Bijgevolg

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Controleer de algebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ , en $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Meetkundig is $s$ de “schuine spiegeling” in de rechte $y = x$ volgens de verticale richting: zij houdt $F$ puntsgewijs vast en keert $G$ om. Hadden we op dezelfde $F$ geprojecteerd maar langs $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ , dan zou de formule veranderen in $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : een projectie wordt bepaald door haar beeld en haar kern, nooit door het beeld alleen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen